Анна Асриян родилась в Кисловодске в музыкальной семье. Её отец Хачатур Асриян учился в консерватории на дирижёрско-хоровом факультете, обе бабушки — Маргарита и Роза обладали певческими голосами. Дедушка Николай был гитаристом, брат отца Артём — аккордеонистом. Сама Анна с 5 лет начала учиться игре на фортепиано, а в 7 лет она уже получила диплом на своем первом конкурсе. За время учёбы в музыкальной школе заработала десятки грамот и дипломов, увлеклась пением. В 2000 году мать Анны Карина Владимировна отвезла дочь для продолжения обучения в Москву, где Анна поступила в музыкальное училище имени Гнесиных, стала стипендиаткой фонда Владимира Спивакова (учредитель стипендии Сергей Лейферкус). В училище педагогом Анны была заслуженная артистка России Рузанна Лисициан, которая оставалась её учителем и в музыкальной академии имени Гнесиных, куда Анна поступила в 2004 году после окончания училища. Учась в Москве, Анна Асриян взяла себе в качестве сценического псевдонима фамилию одной из бабушек — Аглатова.
В 2003 году Анна Аглатова была приглашена на XIV Шаляпинский сезон на Кавминводах. В декабре того же года принимала участие в Рождественском фестивале в Дюссельдорфе (Германия). Пела партию Сюзанны («Свадьба Фигаро» В. А. Моцарта) в концертном исполнении на сцене Московского международного дома музыки (дирижёр Теодор Курентзис) в мае 2006 года, в сентябре того же года исполнила эту партию на премьере в Новосибирском Государственном академическом театре оперы и балета (дирижёр Теодор Курентзис, режиссёр Татьяна Гюрбача). Участвовала в проекте Фонда Ирины Архиповой «Русская камерная вокальная лирика — от Глинки до Свиридова».
За время, прошедшее с момента первого выхода на сцену, Анна Аглатова была участницей многих престижных международных конкурсов, имела сольные выступления по всей Европе. В 2005 году, исполнив партию Наннетты в опере «Фальстаф», Анна дебютировала в Большом театре. С тех пор она занята практически во всех оперных постановках театра.