Родилась в Санкт-Петербурге, в семье мелкого чиновника Григория Ивановича Сниткина. С детства зачитывалась произведениями Достоевского. Слушательница стенографических курсов.
С 4 октября 1866 года, в качестве стенографистки-переписчицы, участвовала в подготовке к печати романа «Игрок» Ф. М. Достоевского. 15 февраля 1867 года Анна Григорьевна стала женой писателя, а через два месяца Достоевские уехали за границу, где оставались на протяжении более четырёх лет (до июля 1871 года).
По пути в Германию супруги остановились на несколько дней в Вильне. На здании, расположенном на том месте, где находилась гостиница, в которой останавливались Достоевские, в декабре 2006 года была открыта мемориальная доска (скульптор Ромуальдас Квинтас).
Направившись на юг, в Швейцарию, Достоевские заехали в Баден, где сперва Фёдор Михайлович выиграл на рулетке 4000 франков, но не мог остановиться и проиграл всё, что с ним было, не исключая своего платья и вещей жены. Почти год они жили в Женеве, где писатель отчаянно работал, и иногда нуждались в самом необходимом. 6 марта (22 февраля) 1868 года у них родилась первая дочь Софья; но 24 (12) мая 1868 года в возрасте трёх месяцев ребёнок умер, к неописуемому отчаянию родителей. В 1869 году в Дрездене у Достоевских родилась дочь Любовь (ум. 1926).
По возвращении супругов в Петербург у них родились сыновья Фёдор (16 июля 1871 — 1922) и Алексей (10 августа 1875 — 16 мая 1878). Начался самый светлый период в жизни романиста, в горячо любимой семье, с доброй и умной женой, которая взяла в свои руки все экономические вопросы его деятельности (денежные и издательские дела) и скоро освободила мужа от долгов. С 1871 года Достоевский навсегда бросил рулетку. Анна Григорьевна обустроила жизнь писателя и вела дела с издателями и типографиями, сама издавала его сочинения. Ей посвящён последний роман писателя «Братья Карамазовы» (1879—1880).
В год смерти Достоевского (1881) Анне Григорьевне исполнилось 35 лет. Вторично замуж не выходила. После смерти писателя собирала его рукописи, письма, документы, фотографии. Организовала в 1906 году комнату, посвящённую Фёдору Михайловичу, в Историческом музее в Москве. С 1929 года её коллекция перешла в музей-квартиру Ф. М. Достоевского в Москве.
Анна Григорьевна составила и издала в 1906 году «Библиографический указатель сочинений и произведений искусств, относящихся к жизни и деятельности Ф. М. Достоевского» и каталог «Музей памяти Ф. М. Достоевского в императорском Российском историческом музее имени Александра III в Москве, 1846—1903». Её книги «Дневник А. Г. Достоевской 1867 год» (опубликована в 1923 году) и «Воспоминания А. Г. Достоевской» (опубликована в 1925 году) являются важным источником для биографии писателя.
Умерла Анна Григорьевна в Ялте в голодном военном 1918 году. Через 50 лет, в 1968 году, её прах был перенесён в Александро-Невскую лавру и захоронен рядом с могилой мужа.
Анна Достоевская весьма успешно занималась изданием и распространением книг мужа, став одной из первых российских женщин своего времени в сфере предпринимательства. При этом она провела исследование рынка и вникала в детали книгоиздательства и книжной торговли.
Является одной из первых известных женщин России, увлекавшихся филателией. Начало её коллекции было положено в 1867 году, в Дрездене. Поводом для этого послужил спор между Анной Григорьевной и Фёдором Михайловичем о женском характере. Писатель однажды во время прогулки высказал сомнение в способности женщины к долгому и упорному напряжению сил для достижения цели:
Свою коллекцию почтовых марок Анна Григорьевна пополняла всю жизнь. Как она отмечала в своих «Воспоминаниях», она не купила ни одной марки за деньги, а лишь использовала те, что были сняты ей с писем или подарены. К сожалению, дальнейшая судьба этой коллекции не известна.