Родился в Бреде. До прибытия Бельшоза в Дижон, ко двору Иоанна Бесстрашного, о его жизни и творчестве нет сведений. Герцог назначил Бельшоза придворным художником и камердинером, такие же звания носили его предшественник Жан Малуэль и преемник Ян ван Эйк. Предполагается, что в течение некоторого времени он работал помощником Малуэля, и тот оказал на Бельшоза большое влияние. Официальным художником бургундского двора Бельшоз стал в 1415 году, после смерти Малуэля.
Почти все известные работы Бельшоза выполнены по заказам герцогов Бургундских и церквей Дижона. Большинство произведений Бельшоза не сохранилось — согласно подробным счетам бургундского двора, это был плодовитый художник. Одна из самых известных работ Анри Бельшоза — алтарь «Распятие с мученичеством Святого Дионисия» (1416, в настоящее время хранится в Лувре), была выполнена им для картезианского монастыря Шанмоль в Дижоне, основанного Филиппом Смелым. В монастыре, называемом также «Домом Троицы», располагалась усыпальница герцогов Бургундских. Верность художника местным традициям, щедрое использование золота, тщательная проработка деталей, общее сходство в манере исполнения двух официальных живописцев бургундского двора , породили гипотезу о том, что это произведение было начато Малуэлем, а после его смерти завершено Бельшозом.Альбер Шателе считает, что луврские тондо, обычно приписываемые Малуэлю, являются двумя из пяти алтарных образов, заказанных ему в 1398 году. Однако он предполагает, что тондо выполнил Бельшоз, когда работал помощником Малуэля, таким образом полностью отвергая традиционную атрибуцию этих работ. Бельшоз сохранил свою должность и при новом герцоге Бургундском — Филиппе Добром. Выполнял он, согласно сохранившимся документам, главным образом декоративные работы, что было обычно для придворных художников. Два алтарных образа, на которые Бельшоз получил заказы в 1425 и 1429 годах, не сохранились.
У Бельшоза была большая мастерская, на пике карьеры художника в ней работали восемь помощников и два ученика.
Около 1424 года Анри Бельшоз женится на дочери нотариуса Аликсан Лебон.
С 1426 года жалованье Бельшоза было сильно уменьшено, а после августа 1429 года его имя исчезает из счетов герцога Бургундского. Филипп Добрый проводил большую часть времени в Нидерландах, где познакомился с новаторским творчеством Яна ван Эйка. В 1425 году Ян ван Эйк стал придворным живописцем герцога. Бельшоз, судя по источникам был жив ещё в 1440 году, но отсутствовал в Дижоне. Умер до января 1445 года.