Высшим достижением юниорской карьеры Анри Леконта стал выигрыш Открытого чемпионата Франции среди юношей в 1980 году. С 1981 года он выступает в ранге профессионала. В том же году он выиграл свой первый профессиональный турнир, победив в ноябре в Болонье в паре с американцем Сэмми Джаммалвой.
В 1982 году Леконт выиграл все пять турниров класса «Сателлит», разыгрывавшихся во Франции на разных покрытиях. В июле он провёл свой первый матч за сборную Франции в Кубке Дэвиса, победив в паре с Янником Ноа соперников из ЧССР, а в ноябре в Стокгольме выиграл свой первый турнир АТР в одиночном разряде, взяв верх в финале над хозяином турнира Матсом Виландером. За год он также выиграл три турнира в парном разряде, два из них с Ноа. Со сборной он дошёл до финала Кубка Дэвиса, но в финальной встрече ничего не смог противопоставить соперникам из США и уступил во всех трёх играх. В 1983 году он дважды уступал в финалах турниров АТР знаменитым соперникам (Гильермо Виласу и Джону Макинрою), выиграл один турнир в парах и дошёл вместе с Ноа до финала престижного турнира в Монте-Карло, а со сборной дошёл до полуфинала Кубка Дэвиса. Он закончил год в числе 30 сильнейших теннисистов мира в одиночном разряде.
Главные успехи Леконта в 1984 году связаны с выступлениями в парном разряде. За год он снова выиграл три турнира, в том числе вместе с Ноа — Открытый чемпионат Франции. На его счету также одна победа в одиночном разряде. В начале 1985 года он достиг шестого места в рейтинге теннисистов в парном разряде, высшего в своей парной карьере. В конце того же года он вторично вышел в финал турнира Большого шлема в парном разряде, на этот раз на Открытом чемпионате США, где они с Ноа уступили в четырёх сетах, три из которых закончились тай-брейком, одной из лучших пар мира, Роберту Сегусо и Кену Флэку. Леконт также продолжал продвигаться вверх в табели о рангах в одиночном разряде, выиграв два турнира, ещё раз дойдя до финала и дважды пробившись в четвертьфинал турниров Большого шлема. Ему удалось несколько раз победить соперников из первой десятки мирового тенниса: на командном чемпионате мира он взял верх над Виландером и Иваном Лендлом, которого победил также на Уимблдоне, а кроме того, дважды за сезон одолел Андреса Гомеса. В итоге он сам вошёл в число десяти сильнейших теннисистов мира и завоевал право на участие в итоговом турнире Мастерс, проходившем в начале января 1986 года; там, однако, в первом же круге его остановил взявший реванш Гомес. В то же время в выступлениях за сборную Леконт одержал только две победы при четырёх поражениях, и в итоге его команда выбыла из Мировой группы Кубка Дэвиса.
Леконт реабилитировался как командный игрок на следующий год, когда на командном чемпионате мира одержал семь побед в восьми матчах и привёл сборную Франции к победе в этом турнире. Со сборной он также выиграл, победив во всех шести своих матчах, Европейскую группу Кубка Дэвиса, вернув команду в Мировую группу. В этом сезоне он относительно мало выступал в парах, но сумел дойти с американцем Шервудом Стюартом до полуфинала Открытого чемпионата Франции. В одиночном разряде он дошёл до полуфинала не только во Франции, но и на Уимблдоне, где уступил Борису Беккеру. На Открытом чемпионате США он пробился в четвертьфинал, а затем, после двух побед подряд в турнирах АТР в сентябре, поднялся на пятое место в рейтинге среди теннисистов-одиночников, самое высокое за карьеру. Это позволило ему второй год подряд принять участие в турнире Мастерс, но там он проиграл все три встречи на групповом этапе и не вышел из группы. В следующем году, однако, череда его успехов подошла к концу. Его высшими достижениями в этом году стали выходы в четвертьфинал Уимблдонского турнира и полуфинал престижного турнира в Париже, и в итоге он выбыл из числа 20 сильнейших теннисистов мира, а в парах, где играл много, но малоуспешно, даже за пределы первой сотни.
В 1988 году состоялось возвращение Леконта в ряды теннисной элиты. Он четырежды играл в финалах турниров в одиночном разряде, в том числе в Открытом чемпионате Франции, где уступил Виландеру. Два из этих турниров он выиграл и в третий раз в карьере завоевал право на участие в турнире Мастерс, однако там снова не сумел выйти из группы, одержав только одну победу над Стефаном Эдбергом. В парном разряде ему удалось дойти до четвертьфинала на Олимпиаде в Сеуле, где его партнёром был Ги Форже. С Форже они также выиграли турнир в Ницце и несколько раз доходили до полуфиналов на других турнирах, а с Иваном Лендлом Леконт вышел в финал турнира в Монте-Карло. Со сборной он добрался до полуфинала Кубка Дэвиса.
В мае 1989 года Леконт перенёс операцию на позвоночнике и выбыл из соревнований до сентября. Возвращение в форму затянулось, и он снова потерял место в числе лучших теннисистов мира. Он вернулся в сотню сильнейших только к маю 1990 года, после выхода в полуфинал турнира в Монте-Карло, включённого в недавно созданную серию наиболее престижных турниров АТР-тура, АТР Мастерс, по пути к которому победил Гомеса, на тот момент девятую ракетку мира, а сразу после этого он вернулся и в топ-50, дойдя до полуфинала ещё одного турнира АТР Мастерс в Гамбурге и победив по дороге шестую ракетку мира Аарона Крикштейна. Затем по пути в четвертьфинал Открытого чемпионата Франции он одолел Андрея Чеснокова, десятую ракетку мира. В дальнейшем ему, однако, не удалось развить достигнутые на грунтовом покрытии успехи, и он закончил сезон на 30-м месте в рейтинге.
В 1991 году Леконт добивается своего высшего успеха как командный игрок: со сборной Франции он завоёвывает Кубок Дэвиса. За этот сезон он выиграл все шесть своих матчей, в том числе в финале у Пита Сампраса в одиночном разряде и у олимпийских чемпионов Сегусо и Флэка — в паре с Форже. На индивидуальном уровне он не блистал, только один раз выйдя в финал турнира в парном разряде, и закончил сезон за пределами первой сотни как в парах, так и в одиночном разряде. В 1992 году он дошёл до полуфинала Открытого чемпионата Франции в одиночном разряде, завоевав право выступить в Кубке Большого шлема. В этом турнире, четвёртом итоговом турнире сезона за карьеру, он дошёл до второго круга, где проиграл Сампрасу.
Последние значительные успехи в карьере Леконта датируются 1993 годом. В этом году, занимая только 141 строчку в рейтинге, он выиграл турнир в Халле, одолев последовательно десятую ракетку мира Петра Корду и девятую — Андрея Медведева. В этом году он также выиграл в паре с Форже турнир АТР Мастерс в Индиан-Уэллс. В итоге он закончил год в первой сотне рейтинга в парном разряде и на самом её пороге в одиночном. Свой последний финал на турнире АТР он провёл в том же Халле в 1994 году, где на этот раз Форже победил его в финале турнира пар. Свои последние матчи в профессиональных турнирах он сыграл в октябре 1996 года на «челленджере» во французском Бресте.