Родился 15 октября 1920 года в местечке Родосто (Турция). В 1924 году семья переехала в Марсель (после геноцида армян в Османской империи). Окончил лицей в Экуан-Провансе, работал журналистом. С 1948 года снимал короткометражные фильмы. В 1951 году снял по Марселю Эме первый полнометражный фильм «Стол для заморышей», принёсший ему известность. За свою кинокарьеру снял более 60 фильмов с Жаном Габеном, Аленом Делоном, Жан-Полем Бельмондо, Омаром Шарифом и другими актёрами.
Вместе с Шарлем Азнавуром принимал участие в работе над созданием знаменитого клипа с участием 90 французских певцов и актёров, исполняющих песню «Тебе, Армения», посвящённую Спитакскому землетрясению 1988 года. Текст песни был написан Шарлем Азнавуром, автор музыки — его зять композитор Жорж Гарваренц, режиссёром клипа был сам Анри Верней.
Отмечая свое происхождение режиссёр говорил:
С пяти лет держал свечи в армянских церквах. А церковь не только вера, она и культура. Пел литургию, великого нашего Комитаса. И если я — сын церкви, то, следовательно, и сын армянской культуры .
В 1991 году по предложению своего друга и писателя армянина по национальности Анри Труайя, снимает «Майрик» и «Улица Паради, дом 588» (адрес семейства Малакян в Марселе), в этих историко-биографических фильмах он на примере своей семьи рассказывает о геноциде которому подверглось армянское население Турции и его последствии. Французский журнал «Пари Матч» назвал фильм «Майрик» «самым дорогим произведением европейского кино» .
Эти картины стали его последними работами в кинематографе.
Умер 11 января 2002 года в Париже. Президент Франции Жак Ширак одним из первых выразил соболезнование семье покойного. Именно ему принадлежат слова: «Верней — это часть легенды французского кино».