Родился 30 января (12 февраля) 1908 года в селе Чичерино Екатеринославской губернии (ныне Волновахский район, Донецкая область, Украина) в крестьянской семье. По национальности украинец. С начала 1920-х годов проживал в Мариуполе, где закончил 7 классов неполной средней школы и школу фабрично-заводского ученичества. Работал на железнодорожной станции в Мариуполе и судах Азовского морского пароходства. Позднее полгода проработал охотником на дельфинов на черноморском побережье Кавказа.
В Красной Армии с мая 1927 года. В 1928 году оканчивает Военно-теоретическую школу лётчиков в Ленинграде, а в 1929 году — 1-ю Качинскую военную авиационную школу лётчиков имени А. Ф. Мясникова. Проходил службу на Дальнем Востоке младшим лётчиком, старшим лётчиком, командиром звена в истребительной авиации.
С апреля 1934 года старший лейтенант Губенко А. А. — командир отряда 116-й истребительной авиационной эскадрильи Московского военного округа. Вскоре становится инструктором по технике пилотирования бригады, а летом 1935 года назначается ведущим лётчиком по проведению войсковых испытаний истребителя И-16. За досрочное выполнение испытаний награждён орденом Ленина. Всего Губенко было освоено 12 типов самолётов.
С 13 марта 1938 года проходил службу в Китае в составе Нанчанской истребительной группы под командованием подполковника А. С. Благовещенского, где воевал до августа 1938 года. В семи воздушных боях сбил семь японских самолётов.
8 августа 1938 года назначен заместителем начальника ВВС Белорусского Особого военного округа. Проживал с семьёй в городе Смоленске.
Звание Героя Советского Союза с вручением второго ордена Ленина Антону Алексеевичу Губенко присвоено 22 февраля 1939 года.
31 марта 1939 года полковник Губенко погиб в авиационной катастрофе. Был похоронен в Смоленске у костёла, а в мае 1971 года перезахоронен в сквере «Памяти Героев» Смоленска.