Сын Каспара Фюрстенау (1771—1819), превосходного флейтиста и композитора, концертировавшего по Европе и России (1805), Антон Фюрстенау начал заниматься на флейте с 6 лет под руководством своего отца. С ранних лет много гастролирует, выступая вместе с отцом. В 1815, находясь с концертами в Праге, Фюрстенау был замечен Вебером. С 1817 г. солист городского симфонического оркестра во Франкфурте-на-Майне. С 1820 г. и до конца жизни Фюрстенау — первый флейтист в королевском оркестре Дрездена, которым дирижировал Карл Мария фон Вебер.
Автор множества произведений для флейты, среди них Блестящее рондо (соч. 102) для 2 флейт и фортепиано, этюды, концертные пьесы, дуэты, трио и др. Композиторское творчество Фюрстенау находилась под сильнейшим влиянием его близкого друга и кумира – Карла Марии фон Вебера, который иногда помогал ему в аранжировке произведений. Известный датский композитор Ф. Кулау – ещё один близкий друг Фюрстенау, с которым он играл свои ранние дуэты.
Фюрстенау часто выступал с концертами в различных странах Европы. Иногда гастролировал вместе со своим сыном Морицем (1824—1889), также превосходным флейтистом.
С 1825 по 1844 Фюрстенау написал ряд статей о музыкальных стилях и несколько учебных пособий для флейты. Среди них «Искусство игры на флейте» (нем. Die Kunst des Fl?tenspiels, 1844), где даётся много методических указаний об игре на классических флейтах немецких и венских моделей. Сам Фюрстенау, предпочитал и популяризировал флейту классической модели с девятью клапанами, считая, что она звучит полнее и лучше сочетается с другими инструментами, чем флейта Бёма.