Обладает очень необычной запоминающейся внешностью.
Родился 2 мая 1958 в посёлке Новая Кушва Свердловской области. Вырос в городе Нижний Тагил.
Поскольку семья Либабовых жила небогато, Анвару в детстве приходилось носить весьма нелепую одежду. Например, полученное от школы в качестве материальной помощи пальто на три размера больше, короткие брюки, стоптанные боты. С учётом очень худой фигуры Анвара и толстых очков, это вызывало насмешки сверстников. К счастью, Анвар не замкнулся в себе, и не озлобился на окружающих — всячески старался развеселить своих товарищей.
После школы, по решению семейного совета, поступил в ветеринарное училище, которое закончил в 1977 году с Красным дипломом. Сразу же после этого поступил и в 1982 году закончил Ленинградский ветеринарный институт. По распределению был направлен на работу главным ветеринарным врачом колхоза имени И. В. Мичурина в Калининской области. Позже перевёлся на работу в совхоз «Ручьи», работал старшим ветеринарным врачом фермы «Лаврики» в Ленинградской области.
В 1981 году поступил в школу-студию пантомимы при клоун-мим-театре «Лицедеи».
В апреле 1987 года завершил карьеру ветеринарного врача и стал клоуном в театре «Лицедеи». С 1987 по 1989 год был заведующим постановочной частью этого театра, а с 1998 года — генеральным директором. В 2003 году (по другим данным в 2001 году) добровольно оставил должность, чтобы иметь возможность уделять больше времени подготовке театрально-циркового шоу «Кракатук» по мотивам сказки Гофмана «Щелкунчик и мышиный король». Тем более, что совмещать творческую работу актёра с прагматичной и рутинной работой администратора было очень сложно.
В настоящее время живёт и работает в Санкт-Петербурге.
У Анвара Либабова родная сестра и три троюродных брата. Один из них сталевар, другой строитель, третий медицинский работник.
Жена Наталья — в прошлом театральный критик, журналист, главный редактор различных газет. Сейчас работает креативным продюсером в кинокомпании. Со своей будущей женой Анвар Либабов познакомился в Ленинградском Доме актёра. По признанию Либабова, это была любовь с первого взгляда. В течение многих лет они неразлучны с женой, но официально оформили свои отношения лишь спустя много лет, когда их дочь уже училась в школе.
Единственная дочь Анвара Либабова — Евгения. По образованию искусствовед. Издаёт книги, пишет в основном о музыке. В частности, является автором книги «Король и Шут. И живые споют про мертвецов» — авторизованного изложения истории известной российской панк-группы «Король и Шут».
Творческая деятельность Либабова началась в студенческие годы с участия в КВН, СТЭМ и спектаклях студенческого драматического театра по пьесам А. Володина, Е. Шварца.
Работая ветврачом, Либабов участвовал в художественной самодеятельности — пел в хоре при сельском клубе, продолжал сотрудничать с «Лицедеями».
В 1987 году по приглашению Вячеслава Полунина стал служить в клоун-мим-театре «Лицедеи».
Кино-дебютом Анвара Либабова в 1986 году стало участие в музыкальном фильме «Как стать звездой», хорошо известном владельцам первых видеомагнитофонов в Советском Союзе. Позже Либабов неоднократно снимался в кино, но всё больше во второстепенных ролях.
Первой серьёзной работой в кино стала роль Антона Грошева («Гуру») в телесериале «Литейный, 4». По признанию Либабова, это была непростая работа.