На драфте НХЛ 2005 года был выбран в первом раунде под общим 11-м номером командой Лос-Анджелес Кингз.
Является первым словенским хоккеистом, вышедшим на лёд в НХЛ.
Копитар родился в Есенице, Словении (которая тогда была частью Югославии). Его отец Матьяж играл в хоккей за «Акрони Есенице» в Югославии и позже в словенском чемпионате в 80-х и 90-х годах, так же Матьяж играл на трех чемпионатах мира за Югославию и Словению в начале 90-х годов. В сезоне 2006-2007 он тренировал «Акрони Есенице», который выступал в австрийской хоккейной лиги. На данный момент Матьяж является главным тренером сборной Словении по хоккею.
Мать Анже Матея работала в семейном ресторане.
Когда Анже было четыре года, отец впервые поставил его на коньки, Матьяж залил каток во дворе, на котором Анже проводил много времени. У Копитара есть брат, Гаспер, который на пять лет младше. Гаспер также играет в хоккей, когда семья переехала в Лос-Анджелес он начал играть за юношеский состав «Кингз». Сейчас он играл в хоккейной лиги США. Бабушка Копитара преподавала английский язык в местной школе, и научила Анже и его брата говорить по английски. Копитар говорит на пяти языках: словенском, сербском, немецком, шведском и английском. До переезда в Швецию Анже жил с родителями. В Швеции он жил в квартире один. После своего первого сезона в НХЛ, Анже перевез свою семью в Лос-Анджелес. Сейчас живетет на Манхэттен-Бич.
Кроме хоккей Копитар любит играть в футбол. Болеет за футбольный клуб «Марибор».
Копитар подписал контракт с «Кингз» 7 сентября 2005 г., но вернулся в Швецию еще на один сезон. Дебют в НХЛ состоялся 6 октября 2006, в игре против «Анахайма» он забил два гола.
Копитар впервые сыграл за сборную Словении в первом дивизионе юниорского чемпионата мира 2003, там он сыграл 5 матчей и набрал 3 очка. На следующий год он сыграл за сборную Словении (до 18) и за сборную Словении (до 20 лет). За юношей он провел 5 матчей и набрал 8 очков, а за молодежную сборную 5 матчей и набрал всего 2 очка. В 2005 году Анже сыграл на трех международных турнирах за Словению, он принял участие в юниорском чемпионате мира, молодежном чемпионате мира, так же он сыграл на взрослом чемпионате мира. Оба молодежных турнира были первого дивизиона, в то время как взрослый чемпионат мира был ТОП-дивизиона. В 2006 году на чемпионате мира он сыграл за Словению 6 матчей, забил 3 гола и набрал 9 очков. В 2007 году Словения выступала в первом дивизионе ЧМ, там он провел 5 матчей и набрал 14 очков. В итоге Словения выйграла первый дивизион ЧМ 2007 года. В 2008 году Словения неудачно провела чемпионат мира и выбыла в первый дивизион, Копитар на этом турнире набрал 4 очка.