В 1898—1903 годах, после окончания школы в Курске, учился в Рижском политехническом институте на сельскохозяйственном факультете. Научным руководителем был ботаник и миколог Фёдор Владимирович Бухгольц, что повлияло на выбор всего дальнейшего направления научной деятельности Бондарцева. Уже в 1903 году опубликована первая научная работа о паразитических грибах окрестностей Риги.
После окончания института работал агрономом в Курске, а в 1905 году получил должность помощника заведующего Центральной фитопатологической станции (ЦФС) при петербургском Императорском Ботаническом саде. ЦФС, созданная А. А. Ячевским в 1901 году, занимала всего три небольшие комнаты, а её персонал состоял из заведующего и двух помощников. Заведующими ЦФС были А. А. Ячевский (до 1906 года) и А. А. Еленкин (1905—1913). В этот период Бондарцевым был написан первый в России и признанный лучшим учебник по фитопатологии, издававшийся три раза — в 1911, 1927 и 1931 годах.
В 1913 году на базе ЦФС создан Отдел фитопатологии, который возглавил А. С. Бондарцев, и занимал должность зав. отдела до 1931 года. С 1914 года учёным публиковались статьи о заболеваниях диких и культивируемых растений, в частности, была открыта цветочная плесень клевера и изучен её возбудитель — грибок Botrytis anthophila, изучались такие заболевания, как мучнистая роса хмеля и крыжовника, ржавчина и головня злаков, кила капусты. В 1927 году вышел из печати справочник «Болезни растений».
В 1931 году был создан Ботанический институт АН СССР, А. С. Бондарцев возглавил сектор микологии Отдела споровых растений института, а в 1942—1952 годах выполнял функции заведующего отдела. В 1935—1941 годах Бондарцев сотрудничает с приехавшим в СССР Рольфом Зингером, совместно учёными была разработана новая прогрессивная система трутовых грибов, оказавшая заметное влияние на дальнейшее развитие систематики базидиомицетов. Совместно с Зингером было написано и «Руководство по сбору высших базидиальных грибов для научного их изучения», которое было напечатано только в 1950 году. В более ранних методических указаниях и инструкциях использовался трудоёмкий и неудобный метод Герпеля с разрезанием гриба и выскабливанием его мякоти перед сушкой, что для научного гербария является нежелательным. Герпелевский метод явился причиной того, что многие исследователи отказывались от гербаризации грибов, существуют даже свидетельства, что в экспедициях ботаники предпочитали производить скорее сборы насекомых, чем шляпочных грибов. По методике Бондарцева и Зингера достаточно высушить гриб целиком, предварительно записав признаки, которые при сушке могут исчезнуть или измениться.
В 1941—1944 годах пережил блокаду Ленинграда.
Главным итогом многолетних трудов А. С. Бондарцева стала монография «Трутовые грибы Европейской части СССР и Кавказа», законченная в 1950 году и напечатанная в 1953. В 1971 году книга была переведена на английский язык. В монографию вошла также «Шкала цветов», позже изданная отдельной брошюрой — пособие для точного описания окраски плодовых тел грибов и других биологических объектов. «Шкала цветов» Бондарцева долгое время была единственным подобным руководством. Актуальными для послевоенного Ленинграда были исследования дереворазрушающих грибов, таких, как Serpula lacrymans, поражающих постройки. Результаты исследований выходили в виде отдельных брошюр, а в 1956 году, уже после выхода учёного на пенсию (1954), издан атлас «Пособие по определению домовых грибов».
А. С. Бондарцев преподавал микологию и фитопатологию в различных учебных заведениях, готовил специалистов через аспирантуру и докторантуру.
Книга о европейских трутовиках Лейфа Рювардена и Роберта Гилбертсона, изданная в 1993 году, посвящена «А. С. Бондарцеву, Г. Яну, М. А. Донку и А. Пилату, на плечах которых мы стоим».
А. С. Бондарцев написал более 200 научных трудов и около 500 сообщений в периодических изданиях. Важнейшие публикации: