Карьера Ара началась в арташатском «Двине», где он играл вместе с братом Арамом Акопяном. Но спустя год их пусти разошлись. Ара перешёл во владикавказскую «Аланию», а Арам в араратский «Цемент». Через год их путь вновь сошлись в «Цементе». С клубом Акопян завоевал свой единственный чемпионаский титул в 2000 году.
По окончании чемпионата перешёл в донецкий «Металлург». Однако в самой команде Акопян выступал редко, так как клуб постоянно отдавал его в аренду в украинские и армянские клуба. В сезонах 2001—2002 выступал в ереванском «Спартаке». С завершением сезона «Спартак» объединился с «Бананцем» в единый клуб под названием «Бананц» Ереван. Акопян оказался в клубе транзитом через алчевскую «Сталь». В «Бананце» Акопян отыграл один сезон став финалистом кубка Армении, лучшим бомбардиром и лучшим футболистом Армении в сезоне 2003 года.
С успешным выступлением в «Бананце» Акопян возвращается в Донецк, но ненадолго. Клуб вновь отправляет его в арендную «ссылку». Вплоть до 2009 года Акопян ни разу не провёл полноценный сезон за выступающую команду. После постоянных аренд, в 2007 году заканчивается контракт с «Металлургом» и Акопян переходит в «Ильичёвец», затем в ереванский «Бананц». В «Бананце» сыграл в летнем отрезке чемпионата и перешёл в кишинёвский «Зимбру». Отыграв конец 2007 года и начало 2008 года перешёл в «Гомель».
1 декабря 2009 года истёк контракт с «Микой». Продлевать его Акопян не стал, ставя перед собой приоритет выступлений за границей. За время межсезонья, Ара Акопян успел пройти просмотр в ФК «Минск», где не приглянулся тренерам, а также возвратиться в прежний клуб, однако здесь диалог касательно контракта не пришёл к своему логическому завершению.
В конце зимы Акопян проводил тренировки в ереванском «Улиссе», за который принял участие в контрольном матче. В феврале 2010 года заключил контракт с клубом на один год. В августе Акопян покинул клуб рассчитывая перейти в зарубежный клуб. Но предложений не поступало, таким образом концовку чемпионата Акопян заканчивал в занимаясь в индивидуальных тренировках.
В феврале 2011 года главный тренер «Арарата» заявил о том, что Акопян будет выступать в столичном клубе. Контракт с «Араратом» был подписан на год. Акопян выступал стабильно, плодотворно, успел стать незаменимой фигурой в команде, но после летнего перерыва решил покинуть клуб. Желанием Акопяна было выступление за границе, в одном из европейских клубов. Чуть позже прошёл просмотр в одном из польских клубов первой лиги, имя которого должно было быть объявлено по завершении переговоров. Переговоры не прошли плодотворно и Акопян вернулся на родину. Перед началом очередного сезона стало известно о возвращении в «Арарат». Желание выступать в «Арарате» Акопян изъявил сам. А после беседы с главным тренером Альбертом Сафаряном переговоры не затянулись и контракт был подписан в скором времени. Срок соглашения действует до мая 2013 года.
Являлся игроком национальной сборной Армении, за которую выступал с 1998 года по 2009 год. За это время Ара Акопян принял участие в 42 матчах и провёл в ворота соперников 7 голов (это 2-й показатель среди всех игроков начиная с 1992 года). Первый матч в составе сборной провёл 21 ноября 1998 года в домашней товарищеской игре против сборной Эстонии.