Арам Яковлевич Абрамян родился 31 декабря 1898 года в Ереване в семье служащего.
Окончив в 1918 году гимназию, поступил на медицинский факультет Московского университета, окончив который в 1924 году работал до 1929 года в урологической клинике 2-го Московского университета.
В 1929 году Арам Абрамян перешёл на работу в Московский областной клинический институт (ныне — Московский областной научно-исследовательский клинический институт имени М. Ф. Владимирского) и по совмещению работал ассистентом в клинике урологии Московского медицинского института Министерства здравоохранения РСФСР.
В 1938 году Абрамян защитил диссертацию на степень кандидата медицинских наук.
В период советско-финской войны Арам Абрамян заведовал урологическим отделением одного из госпиталей Ленинграда, а в годы Великой Отечественной войны работал ведущим урологом эвакуационных госпиталей в Армянской ССР.
В 1949 году Абрамян стал главным урологом Управления Министерства здравоохранения СССР, а в 1950 году защитил диссертацию степень доктора медицинских наук.
Арам Абрамян вступил в КПСС в 1951 году.
С 1949 по 1975 годы возглавлял урологическую клинику Московского областного клинического института. В этом институте впервые в Советском Союзе стали применять методы рентгенокинематографии и радиоизотопной диагностики, а также был испытан и внедрён отечественный аппарат для дробления камней мочевого пузыря «Урат-1».
С 1950 по 1975 годы Арам Абрамян работал директором Научно-исследовательского института урологии Москвы, а с 1984 года — научным консультантом Министерства здравоохранения СССР.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 февраля 1969 года Араму Яковлевичу Абрамяну присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и медали «Серп и Молот».
Арам Яковлевич Абрамян жил и работал в Москве, где и умер в 1990 году. Похоронен в Армении.
Арам Абрамян был членом президиума Международной ассоциации урологов, председателем Всесоюзного общества урологов (1955—1975), членом редакционной коллегии журналов «Урология» и «Хирургия».
Арам Абрамян написал более 100 научных работ, из которых 3 монографии, посвящённые проблемам почечнокаменной болезни, опухолей почек, травматических повреждений мочеиспускательного канала, различным вопросам детской урологии.
Абрамян передал в дар Армении своё собрание произведений русского искусства.