Отец — Павел Сергеевич Таушев, дворянин Симбирской губернии, чиновник военно-судебного ведомства. Мать — Мария Владимировна
С 1920 год семья Таушевых находилась в эмиграции, детские годы будущего архиерея прошли в городе Варне в Болгарии. Окончил русскую гимназию (1926; с золотой медалью), богословский факультет Софийского университета (1930). Был учеником архиепископа Серафима (Соболева). Значительное влияние на юного Александра оказал архиепископ Феофан (Быстров), живший в эмиграции в Болгарии. Как вспоминал владыка Аверкий, эта встреча «окончательно решила мою дальнейшую участь: я твёрдо, без малейших сомнений или колебаний решился стать на путь монашеской жизни».
В 1931 году переехал в Прикарпатскую Русь (ныне Закарпатская область Украины). Позднее так вспоминал о мотивах своего решения:
С 1932 года был помощником секретаря епархиального управления в городе Хусте. 19 мая 1931 года был пострижен в монашество в Свято-Николаевском монастыре в селе Иза. С 20 мая 1931 — иеродиакон, с 1932 года — иеромонах. Летом 1932 окормлял приходы Нанкова и Боронявы. С сентября 1932 был помощником настоятеля, затем настоятелем храма в Ужгороде. С 7 августа 1935 — издатель-редактор епархиального журнала «Православный Карпаторусский вестник». С 1936 — преподаватель Закона Божия в державной реальной гимназии, в русских и чешских державных гражданских и народных школах Ужгорода. С 1937 года — игумен.
В 1938 году — настоятель прихода в Мукачеве, администратор части Мукачевско-Пряшевской епархии в Венгрии и заведующий Архиерейской резиденцией и епархиальным имуществом в Мукачеве. С 1939 года — первый референт епархиального Управления.
После того, как Прикарпатскую Русь заняли венгерские войска, переехал в 1940 в Югославию, где преподавал пастырское богословие и гомилетику на миссионерско-пастырских курсах, читал лекции о духовной жизни в Русском Доме, организовывал религиозно-просветительные собрания. Служил священником в Свято-Троицкой церкви. Был духовником главы Русской православной церкви заграницей (РПЦЗ) митрополита Анастасия (Грибановского).
С 1944 года — архимандрит. В том же году эвакуировался в Австрию, с 1945 вместе с Архиерейским Синодом РПЦЗ находился в Мюнхене, был законоучителем в старших классах гимназии «Милосердный самарянин» и в «Гимназии бесподданных» в лагере для перемещённых лиц, преподавал на курсах сестёр милосердия. Читал лекции по изучению святоотеческих творений в Синодальном доме. С 1950 года — председатель миссионерско-просветительского комитета при Архиерейском Синоде.
В 1951 году архиепископ Виталий (Максименко) пригласил архимандрита Аверкия переехать в США. В том же году стал преподавателем Свято-Троицкой духовной семинарии в Джорданвилле, читал лекции по Новому Завету, литургике, гомилетике. В 1952—1976 — бессменный ректор семинарии, в период его руководства это учебное заведение получило статус университета штата Нью-Йорк.
С 1952 года, одновременно, главный редактор журнала «Православная Русь», публиковал в каждом его номере свои статьи и проповеди.
С 25 мая 1953 года — епископ Сиракузский. В 1960—1976 также был настоятелем Свято-Троицкого монастыря.
С 17 августа 1961 — архиепископ Сиракузский и Троицкий.
С 1964 — постоянный член Архиерейского Синода РПЦЗ. Был председателем благотворительного фонда имени святого праведного Иоанна Кронштадтского. Духовный руководитель движения «Свято-Владимирской молодёжи», созданного с целью «помочь нашей русской молодёжи выработать себе правильное православное и национально-русское миросозерцание, с тем, чтобы оно стало руководящим началом жизни».
Был талантливым проповедником. По свидетельству его духовных чад,
Учёный-богослов, автор получивших значительную известность толкований на книги Нового Завета. Многие труды Аверкия после 1990 года были переизданы в России и получили популярность среди консервативной части прихожан Русской православной церкви, которым созвучны его размышления об апостасии и верности своему церковному и национальному самосознанию. Кроме того, некоторые работы архиепископа Аверкия используются в качестве учебной богословской литературы не только в Свято-Троицкой семинарии, но и в постсоветской России.
Погребён в крипте Троицкого собора Свято-Троицкого монастыря в Джорданвилле.