Архип Люлька родился в селе Саварка, Каневского уезда, Киевской губернии, Российской империи (ныне это Богуславский район Киевской области Украина). Окончил Киевский политехнический институт в 1931 году. Работал на Харьковском турбогенераторном заводе.
1933—1939 годах — преподаватель Харьковского авиационного института, работа над проектом ТРД с центробежным компрессором.
В 1939—1941 годах разработал конструктивную схему ТРДД, явившуюся прототипом ныне существующих схем, спроектировал опытный образец ТРД с осевым компрессором.
В 1941—1942 годах работал на танковом заводе в Челябинске, а с 1943 года продолжил работы по созданию первого отечественного ТРД.
Совместно с начальником ОКБ-301 М. И. Гудковым в марте 1943 года предложили руководству СССР проект нового штурмовика с ВРД (ТРД) — Гу-ВРД. Однако, отечественные специалисты были не готовы принять это предложение, несмотря на убеждённость разработчиков в реальности воплощения этого проекта.
С 1946 года является главным конструктором опытного завода. Под руководством Люльки создан первый советский ТРД, прошедший в феврале 1947 года государственные испытания. В последующие годы под руководством Люльки был создан ряд ТРД, применявшихся на самолётах П. О. Сухого, С. В. Ильюшина, Г. М. Бериева, А. Н. Туполева.
в 1950—1960 годах — преподаватель в МАИ (с 1954 профессор). В 1957 году присвоено звание — Генеральный конструктор.
В 1967—1984 годах — председатель Комиссии АН СССР по газовым турбинам.
Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
Именем А. М. Люльки названы площадь и научно-технический центр, расположенные в Алексеевском районе Москвы.
На доме № 6 в Протопоповском преулке г. Москвы, где А. М. Люлька жил с 1974 по 1984 г., установлена мемориальная доска.