Родился в бедной крестьянской семье. Учился в Харковецкой церковной учительской школе, из которой был исключён за «вольнодумство». Служил писарем в волости, затем у нотариуса. Начал печататься в 1904 году. За агитацию среди крестьян (в 1905—1906) дважды был арестован и сослан на 4 года. По возвращении (в 1909) опубликовал ряд произведений.
В 1910 году вернулся в родное село, где больной чахоткой и изнурённый арестами и ссылками, вскоре умер. Значительная часть рассказов Тесленко издана после его смерти.
Архип Тесленко начал писать стихи на русском языке в 1902 году, затем перешёл на украинский.
Основная тема его произведений, исполненных пессимизма — трагедия многих крестьян в начале XX века, когда рушился традиционный уклад жизни и многие не могли себе найти места в новых капиталистических отношениях.
В селе Харьковцы основан литературно-мемориальный музей писателя.
В райцентре Лохвице в 1974 году перед районным Домом культуры открыт памятник Архипу Тесленко.