В 1946—1954 годах обучался игре на таре в Бакинском музыкальном училище, затем с 1955 по 1958 год — в Бакинской консерватории в классе композиции Кара Караева. Дипломной работой молодого композитора стала его «Первая симфония».
В 1958 году Меликов был приглашён преподавать в консерватории, год спустя стал членом азербайджанского отделения Союза композиторов СССР.
В настоящее время ведёт активную композиторскую, преподавательскую и музыкально-общественную деятельность.
Глубоко изучив азербайджанское народное музыкальное искусство, и прежде всего — мугам, Меликов уже в ранних своих работах активно претворял в жизнь его идеи. Наиболее известное сочинение композитора — балет «Легенда о любви» на сюжет одноимённой драмы Назима Хикмета, написанный и впервые поставленный в 1961 году в Ленинграде на сцене театра оперы и балета им. С. М. Кирова. Это произведение не утратило своей популярности и в наши дни. Благодаря балету «Легенда о любви», который ставили многие театры в мире, Ариф Меликов получил известность во всем мире.
Важными вехами в творчестве Меликова являются также симфоническая поэма «Метаморфозы» и Вторая симфония, знаменовавшие собой усложнение его композиторского стиля и некоторое удаление от народной музыки.
Шестичастная «Вторая симфония», которую Ариф Меликов посвятил Д.Д. Шостаковичу, впервые была исполнена в апреле 1973 года в Баку. В дальнейшем ее исполняли в Москве, Тбилиси, Анкаре (Турции).
В 1974 году А. Меликовым была написана «Третья камерная симфония» для камерного оркестра Югославии. В 1977 году создается одночастная «Четвертая симфония», которую отметили индивидуальным решением принципа симфонизма. Как продолжение позже появились и «Пятая» и «Шестая» симфонии.
В 1983 году произошла премьера балета «Поэма двух сердец» в Государственном театре оперы и балета г. Куйбышева и Государственном академическом Большом театре Узбекской ССР имени А. Навои.
В 1984 году впервые была исполнена «Шестая симфония», получившая от автора название «Контрасты».