Аркадий Островский родился 25 (12) февраля 1914 года в Сызрани. Отец, Илья Ильич, настройщик музыкальных инструментов .
С 1927 будущий композитор жил в Ленинграде, учился в ФЗУ. В 1930 г. поступил в музыкальный техникум.
С 1940 по 1947 гг. Островский работал в джаз-оркестре Леонида Утёсова. В эти же годы состоялись и первые композиторские работы.
Аркадий Островский стал автором песен, приуроченных к Всемирным фестивалям молодёжи и студентов . А в 1962 году композитором на стихи Льва Ошанина была написана песня «Пусть всегда будет солнце», получившая первую премию на Международном фестивале песни в Сопоте .
«Дворовые циклы» были написаны композитором в 60-е годы. Первый цикл (песни «А у нас во дворе», «И опять во дворе», «Я тебя подожду») написан в 1962 году, второй («Вот снова этот двор», «Детство ушло вдаль») — в 1965. Песни о юношеской любви.
Песни Островского исполняли Эдуард Хиль, Иосиф Кобзон, Муслим Магомаев, Майя Кристалинская, Эдита Пьеха, Олег Анофриев, Леонид Екимов и др.
Аркадий Островский также написал много песен для детей. Одна из наиболее известных — «Спят усталые игрушки» — звучит в заставке передачи «Спокойной ночи, малыши» (автор слов — Зоя Петрова). В передаче песню исполняли Олег Анофриев и Валентина Толкунова.
Певица Ева Синельникова исполняла цикл детских песен Островского на стихи Зои Петровой от лица Буратино.
В сентябре 1967 года в Сочи открывался первый фестиваль «Красная гвоздика», на который композитор получил приглашение. Однако 18 сентября Островский скончался.
25 февраля 2004 года, в день, когда композитору исполнилось бы 90 лет, в Москве на площади перед концертным залом «Россия» появилась звезда с его именем .
В 1990-х годах имя Аркадия Островского было присвоено детской музыкальной школе №8 города Москвы .