Родился 14 мая 1917 года в Минске (Белоруссия) в семье учителя.
В 1931—1933 годах был учеником электромонтера в Белорусской конторе Всесоюзного электротехнического объединения в городе Минске. Трудовую деятельность начал в 1933 году электромонтером в вечерней школе Западной железной дороги в Минске. В 1940 году окончил физический факультет Белорусского государственного университета по специальности «физика» и до начала Великой Отечественной войны работал в Институте химии Академии наук (АН) Белорусской ССР. В 1937—1941 годах был ответственным секретарем, а затем председателем Белорусского совета Добровольного спортивного общества «Наука».
В 1940 году закончил физико-математический факультет Белорусского государственного университета по специальности «Физика».
После вторжения немецко-фашистских войск в Минск вошёл в подпольную группу, которая оказывала сопротивление оккупантам. После Великой Отечественной войны А. А. Бриш переезжает в Москву.
С 1947 по 1955 годы работал в РФЯЦ-ВНИИЭФ.
С 1955 года — в КБ-25, ныне Всероссийский НИИ автоматики им. Н. Л. Духова.
С 1964 по 1997 годы — главный конструктор.
В настоящее время почётный научный руководитель ВНИИА.