А. А. Соболев родился в 1903 году в деревне Данилкино Галичского уезда Костромской губернии.
С 1939 года он занимал пост генерального секретаря Народного комиссариата иностранных дел СССР.
С 1942 по 1945 годы он был советником посольства СССР в Великобритании. В 1945—1946 годах — начальник политического отдела Советской военной администрации а Германии.
С 1946 по 1949 год был помощником Генерального секретаря Организации Объединённых Наций и руководителем Департамента по делам Совета Безопасности ООН. Он много сделал для усиления престижа СССР на мировой арене в годы становления ООН.
В 1949—1950 годах А. Соболев заведовал отделом по делам Организации Объединённых Наций МИД СССР, был членом коллегии МИД, в 1950—1951 годах руководил отделом США МИД СССР.
Со 2 марта 1951 года по 21 июня 1953 года был чрезвычайным и полномочным послом СССР в Польской Народной Республике, затем заведовал отделом стран Америки МИД СССР.
В 1954—1955 годах был заместителем постоянного представителя СССР при Организации Объединённых Наций, а в 1955—1960 годах — постоянным представителем СССР при ООН и, одновременно, постоянным представителем СССР в Совете Безопасности Организации Объединённых Наций.
С 1960 года и до конца жизни занимал пост заместителя министра иностранных дел СССР. Имел дипломатический ранг Чрезвычайного и Полномочного Посла.
Умер в декабре 1964 года в Москве.