Родился в 1867 году в богатой и знатной дворянской семье. Выбрав карьеру военного, заканчивает Казанское пехотное юнкерское училище и получает назначение в полк расквартированный в Симбирске. Об этих годах сам Аркадий Францевич писал, что они протекали спокойно и беззаботно, однако монотонно. Молодой офицер стал думать о другой профессии, которая больше отвечала бы складу его характера и которая, по его словам, могла бы быть полезна и в мирное время. С детства он зачитывался детективными романами и понял, что истинное его призвание — криминалистика.
В 1894 г. он подал в отставку и поступил рядовым инспектором в Рижскую полицию. С первых же дней молодой сыщик хорошо зарекомендовал себя. Высокая раскрываемость преступлений, личная смелость, применение на практике всего лучшего, что было на то время известно европейской криминальной науке… Отсюда награды и быстрое повышение по службе.
Через шесть лет А. Ф. Кошко был назначен начальником Рижской полиции, ещё через пять — заместителем начальника Петербургской сыскной полиции, а в 1908 г. его назначили начальником Московской.
Большой результат давала разработанная А. Ф. Кошко новая система идентификации личности, основанная на особой классификации антропометрических и дактилоскопических данных. Московский сыск благодаря своим фотографическим, антропометрическим, дактилоскопическим кабинетам создал исключительно точную картотеку преступников. Позднее эта система была заимствована Скотланд-Ярдом. Когда после революции генерал Кошко вынужден был бежать из России, именно англичане предложили ему возглавить у них исследовательский отдел. Московский период в жизни А. Ф. Кошко принес ему славу, ордена и новое повышение. Он был назначен заведующим всем уголовным розыском Российской империи.
На состоявшемся в 1913 году в Швейцарии Международном съезде криминалистов русская сыскная полиция была признана лучшей в мире по раскрываемости преступлений. И неудивительно: возглавлял сыск Аркадий Кошко.
Революция 1917 г. прервала блестящую карьеру Кошко. Он не принял большевистский переворот. В 1918 году был вынужден уехать в Киев, затем из Киева в Одессу. И уже оттуда под нажимом красных на пароходе добрался до Турции.
Небольшие накопления, которые удалось вывезти, быстро закончились, и бывшему полицейскому пришлось тяжело — требовалось кормить семью. Он создал своё частное детективное бюро в Константинополе, начал с советов и рекомендаций, появились заказы. Он сам выслеживал неверных мужей и жён, находил награбленное, давал ценные советы богатым, как сберечь своё имущество от воров. Постепенно дело стало приносить доход. Однако неожиданно среди российских эмигрантов прошел слух, что Мустафа Кемаль собирается выслать всех эмигрантов из России назад к большевикам.
Кошко уехал на пароходе из Константинополя во Францию, где в 1923 году получил политическое убежище. В Париже ему долго не удавалось найти работу: в полицию не брали, на создание детективного бюро требовались деньги. С трудом удалось устроиться управляющим в магазин по торговле мехами. Он всё ещё надеялся, что строй в России изменится, ждал, что его попросят вернуться на Родину. К нему поступали предложения от англичан, которые его хорошо знали и готовы были предоставить ему ответственный пост в Скотланд-Ярде, но он отказывался принимать британское подданство, без которого работа в британской полиции была невозможна.
Скончался генерал Кошко в Париже 24 декабря 1928 года, там же и похоронен.
В последние годы своей жизни Аркадий Францевич Кошко успел написать три тома воспоминаний, состоящих из коротких и динамичных рассказов. В них Кошко подробно описал свои наиболее громкие расследования. Первый том, состоящий из 20 рассказов, увидел свет ещё при жизни автора в 1926 году и снискал ему громкую известность в русских эмигрантских кругах, удостоились похвалы известного писателя А. В. Амфитеатрова. После смерти автора в 1929 году вышли в свет ещё два тома. Все три тома имели общее название: «Очерки уголовного мира царской России. Воспоминания бывшего начальника Московской сыскной полиции и заведывающего всем уголовным розыском Империи».
В 1995 по рассказам Кошко был снят многосерийный фильм «Короли российского сыска». В главной роли снялся Армен Джигарханян