Начинал играть в футбольной школе Выборгского района Ленинграда у тренера Б. Никифорова, выступал за команды на год, на два старше своего возраста. Затем перешёл в СДЮШОР «Смена» к тренеру Виктору Смагину.
В составе сборной города выиграл турнир «Дружба», где стал лучшим бомбардиром.
Из-за проблем со здоровьем поступил в училище и получил профессию электросварщика-подводника. Во время практики работал на Балтийском заводе. Параллельно с обучением играл за ленинградскую сборную «Трудовых резервов», участвовал во всесоюзном финале.
В 1977 году получил приглашение от тренера «Динамо» Анатолия Васильева, где играл до 1981 года. В 1982 году, не дождавшись приглашения от тренера «Зенита» Юрия Морозова, перешёл в рижскую «Даугаву», где в 42-х матчах забил 5 голов. Осенью того же года был приглашён в «Зенит» новым тренером клуба Павлом Садыриным.
Стал чемпионом СССР в 1984 году. В последних матчах не принимал участия из-за смерти в начале ноября ребёнка.
После ухода из «Зенита» в 1990 году выступал за польский клуб «Погонь» из Щецина, но через полгода из-за финансовых разногласий с руководством клуба решил переехать в Норвегию, в клуб «Мёльнер», за который уже выступал Дмитрий Баранник. Выступал за команду до 1994 года. Имея диплом института имени Лесгафта и зная норвежский язык, два года преподавал физкультуру в местном техникуме.
В 1986 году провёл один матч за Олимпийскую сборную СССР.
Дочь Надежда в середине 1990-х успешно играла в Норвегии в футбол, но затем отошла от спорта. Другая дочь вместе с матерью и её мужем живёт в Нидерландах. В Санкт-Петербурге Афанасьев женился вторично.
Вернувшись в Санкт-Петербург, принимал участие в создании Фонда ветеранов спорта «Зенит-84». В 2004 году являлся помощником по спорту депутата ЗакСа Владимира Барканова. Возглавляет детский клуб «Зенит-84».
Аркадий Афанасьев приходится Дмитрию Бараннику свояком — они женаты на родных сестрах.