Арно Клеман начал играть в теннис в семь лет; его первым партнёром был старший брат Бруно. В 1995 году, после окончания колледжа, сосредоточился на спортивной карьере. Первые матчи в профессиональном турнире провёл в ноябре 1996 года в «челленджере» на Реюньоне. В июле 1997 года вышел в свой первый финал «челленджера» в парном разряде, а в ноябре — в одиночном. В том же году дошёл до третьего круга на Уимблдоне. В 1999 году вышел в свой первый финал турнира АТР в Марселе, победив в полуфинале игрока из первой двадцатки рейтинга Седрика Пьолина. За этот сезон он прошёл путь со 103 до 48 места в рейтинге.
В 2000 году выиграл свои первые турниры ATP: в парах в Касабланке и в одиночном разряде в Лионе. За сезон одержал четыре победы над игроками первой десятки рейтинга, в том числе дважды, на Открытом чемпионате США и в Лионе, над Андре Агасси; на Открытом чемпионате США Агасси выступал в ранге первой ракетки мира. К концу сезона Клеман вошёл в число 20 сильнейших теннисистов мира в одиночном разряде, а в январе 2001 года добрался до финала Открытого чемпионата Австралии, где уступил тому же Агасси. В апреле он поднялся до десятой позиции в рейтинге, высшей за свою карьеру в одиночном разряде. В Кубке Дэвиса в 2001 году он провёл за сборную Франции шесть игр, в том числе против Марка Россе и Роджера Федерера в матче со сборной Швейцарии, одержал четыре победы и помог команде выйти в финал, где она без него взяла верх над австралийцами. На следующий год он также помог сборной Франции дойти до финала, где она, снова без его участия, уступила России. В полуфинальном матче со сборной США Клеман взял верх над Энди Роддиком. В 2001 и 2002 годах он также выступал за сборную Франции в командном чемпионате мира (общий результат 4-2 в одиночном разряде и 3-3 в парах).
В 2004 году Клеман играет в финалах четырёх турниров в парном разряде и выигрывает три из них с тремя разными партнёрами. За год он поднимается со 141 на 30 место в рейтинге теннисистов в парном разряде. Он участвует в олимпийском турнире в Афинах в как в одиночном разряде (проиграл во втором круге Иво Карловичу), так и в парном (с Себастьяном Гросжаном, проиграли в первом круге паре из Зимбабве, которую до этого побеждали в марте в Индиан-Уэллз). На следующий год он опять играет за сборную на командном чемпионате мира, выиграв все три матча в паре (с Микаэлем Ллодра) и проиграв обе свои одиночные встречи.
Продолжая выступать с разными партнёрами, в основном французами, наибольших успехов Клеман добивается с Ллодрой. Вместе они выигрывают турнир серии Мастерс в Париже осенью 2006 года, затем Уимблдонский турнир 2007 года, участвуют в Кубке Мастерс — финальном турнире АТР-тура, становятся финалистами Открытого чемпионата Австралии в 2008 году, а на Олимпиаде в Пекине доходят до полуфинала, где уступают шведам Аспелину и Йоханссону. В матче за бронзу они проигрывают Бобу и Майку Брайанам из США, которых до этого побеждали в апреле на Кубке Дэвиса. После финала Открытого чемпионата Австралии 2008 года Клеман поднимается до восьмого места в рейтинге теннисистов в парном разряде, высшего в карьере.
В 2009 году Клеман ещё трижды доходил до финалов в парах и одержал одну победу (в Марселе, с Ллодра). В январе 2010 года он впервые за два с половиной года дошёл до финала турнира АТР в одиночном разряде. Тем не менее, и в 2009 году на его счету была победа над теннисистом из первой десятки: на турнире в Лионе он взял верх над своим соотечественником Тсонга. В 2011 году он впервые за 13 лет не сумел пробиться в финал турнира АТР ни в одиночном, ни в парном разряде. Его лучшим результатом стал выход с Лукашем Длоугим в четвертьфинал Уимблдонского турнира после победы над знаменитыми индийцами Махешем Бхупати и Леандером Паесом. В четвертьфинале их переиграли будущие финалисты Роберт Линдстедт и Хория Текэу.