Артур Артурович Эйзен родился 8 июня 1927 года в семье латышского революционера.
В 1944 году, после окончания школы, поступил в театральное училище им. Б. Щукина на курс, который вёл И. М. Толчанов. Кроме того, он посещал занятия по вокалу.
В 1948 году он становится актёром МАДТ имени Е. Б. Вахтангова. В театре он выступил в ряде спектаклей, в таких как «На дне», «Дети солнца» М. Горького, «Старые друзья» Л. А. Малюгина, «Борис Годунов» А. С. Пушкина.
Вскоре Артур Эйзен поступил в музыкальное училище, после перешёл в училище им. Гнесиных, а с 3-го курса становится студентом МГК имени П. И. Чайковского. В 1955 году на Международном фестивале молодёжи и студентов в Варшаве он становится лауреатом конкурса вокалистов. Одновременно с учёбой в консерватории Артур Эйзен работает солистом в ДКАППСА имени А. В. Александрова. Он также выступал с большими сольными концертами.
В конце 1956 года состоялся его дебют в Большом театре в роли дона Базилио в опере «Севильский цирюльник». И с января 1957 года он становится солистом ГАБТ. С тех пор более 40 лет он проработал в Большом театре, исполнив множество ролей в различных постановках. Кроме того он выступал с гастролями в крупнейших залах разных стран мира.
Много лет профессор Российской Академии музыки имени Гнесиных Артур Эйзен передавал свое мастерство молодым артистам.
А. А. Эйзен умер 26 февраля 2008 года. Похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.