Артур Минасян за свою карьеру выступал за ведущие клубы Армении, а также пробовал свои силы за рубежом, в швейцарском клубе «Лозанна Спорт», однако закрепиться так и не смог. Большую часть игровой карьеры провёл в «Арарате». Именно в составе гранда армянского футбола Минасян становился призёром чемпионата и обладателем кубковых наград. Являлся лидером и капитаном клуба. После вылета «Арарата» в первую лигу Минасян покинул клуб и отправился в Польшу на переговоры с одним из ведущих клубов страны, однако в последний момент по каким-то причинам стороны не договорились и сделка не состоялась. Чтобы не остаться без дела и поддерживать спортивную форму, подписал контракт с клубом «Ресовия», выступающем во Второй лиге Польши (3-я по иерархии). Подписан был данный контракт в конце января 2010 года сроком, на полгода. По окончании чемпионата Минасян досрочно расторг контракт с клубом и вернулся в Ереван. 28 августа стало известно, что Минасян возвращается в родной «Арарат». Некоторое время было неизвестно в каком амплуа продолжит свою карьеру в клубе. Позже стало известно, что Минасян решил продолжить карьеру игрока.
Первый матч за главную сборную страны провёл в 2000 году.