Артур Вадер родился в 1920 году в деревне Горбово Витебской губернии (ныне Витебская область, Лиозненский район, деревня Горбово 1).
Окончив техникум в 1937 году, работал учителем в школе, потом некоторое время был инструктором городского комитета ВЛКСМ. В 1940 году стал директором школы фабрично-заводского ученичества в городе Можайске Московской области, одновременно заведовал отделом технического обучения одного из заводов.
Летом 1941 года вступил добровольцем в коммунистический полк народного ополчения, в его составе прошёл бои на Западном фронте. После расформирования части был зачислен в 343-й полк 38-й дивизии: воевал рядовым, потом заместителем политрука роты. В 1943 году на Воронежском фронте получил тяжёлое ранение, был демобилизован по инвалидности.
С 1943 года и до окончания войны работал директором механического техникума в Москве, потом возглавил Всесоюзный учебный комбинат Народного комиссариата - Министерства текстильной промышленности СССР.
В 1948 году направлен на партийную работу в Эстонию. Работал инструктором в Центральном Комитете Компартии Эстонии, 2-м секретарём Калининского райкома партии Таллина, с 1950 года — 1-м секретарём Харьюского райкома партии.
С 1952 по 1959 год был секретарём Таллинского горкома партии. Одновременно учился на заочном отделении Высшей партийной школы при ЦК КПСС (закончил в 1954 году), работал в ревизионной комиссии Компартии Эстонии. Затем находился в аппарате ЦК КПСС.
В 1963-1964 годы занимал должности председателя председателя Комитета партийно-государственного контроля Центрального Комитета Компартии Эстонии и Совета министров Эстонской ССР, секретаря ЦК Компартии Эстонии и заместителя председателя Совета Министров ЭССР. С 1964 года был вторым секретарём Центрального Комитета КП Эстонии.
22 декабря 1970 года избран председателем Президиума Верховного Совета Эстонской ССР (заместитель председателя Президиума Верховного Совета СССР). На этой находился до своей кончины 25 мая 1978 года. В сентябре того же года имя Вадера было присвоено Сакуской средней школе.
А. П. Вадер награждён 5 орденами, среди них: