Олбистон перешёл в Академию «Манчестер Юнайтед» в июле 1972 года, а два года спустя подписал с клубом профессиональный контракт. Его дебют за клуб состоялся в матче третьего раунда Кубка Футбольной лиги против «Манчестер Сити» 9 октября 1974 года, в котором «Юнайтед» одержал победу со счётом 1:0. Всего Олбистон, игравший на позиции левого защитника, провёл за «Манчестер Юнайтед» 467 матчей и забил 7 голов. Он помог команде выиграть три Кубка Англии: в 1977, 1983 и 1985 годах.
В августе 1988 года контракт Олбистона с «Юнайтед» закончился, и он, в качестве свободного агента, перешёл в «Вест Бромвич Альбион», главным тренером которого был экс-тренер «Юнайтед» Рон Аткинсон. К моменту ухода Олбистона из «Манчестер Юнайтед» он был самым опытным игроком действующего состава и единственным оставшимся футболистом со времён Томми Дохерти.
Он дебютировал за «Вест Бромвич» в матче против «Лестер Сити» в начале сезона 1988/89. Всего он сыграл в этом сезоне 47 матчей и забил 2 гола, после чего вернулся в Шотландию, подписав контракт с клубом «Данди». Впоследствии он выступал за клубы «Честерфилд», «Честер Сити», «Молде» и «Эйр Юнайтед». В 1994 году завершил профессиональную карьеру, после чего выступал за ряд любительских клубов.
Олбистон провёл 14 матчей за сборную Шотландии, дебютировав за неё 14 октября 1981 года в матче со сборной Северной Ирландии. Сыграл один матч на чемпионате мира 1986 года (это была ничья со сборной Уругвая).
В 1996 году Олбистон стал главным тренером клуба «Дройлсден», в котором он ранее выступал как игрок. С 2000 по 2004 годы был тренером в молодёжной Академии «Манчестер Юнайтед». Впоследствии работал на радио. В настоящее время работает на MUTV, официальном телеканале «Манчестер Юнайтед», комментируя матчи резервного и молодёжного состава «Юнайтед».
Манчестер Юнайтед