Асхаб Абакаров родился 21 августа 1945 года.
В 1969 году окончил ЛГИТМИК, кинорежиссёрский факультет Тбилисского театрального Тбилисского института театрального искусства им.Ш. Руставели (1979, мастерская Т.Абуладзе). До учёбы в театральном институте работал художником-модельером. Художник по костюмам и художник-постановщик на фильмах Т.Абуладзе «Ожерелье для моей любимой», «Древо желания».
Погиб в автомобильной аварии 4 ноября 1985 года.