Астор Пьяццолла родился 11 марта 1921 г. в аргентинском городе Мар-дель-Плата, в семье эмигрантов из Италии.
Детство провёл с родителями в Нью-Йорке, где влюбился в джаз. Там же в 1930 г. начал учиться игре на аккордеоне. В 1933 г. Астор начинает брать уроки у венгерского пианиста Белы Вильда, ученика Рахманинова, о котором Пьяццолла позже скажет: «Благодаря ему я полюбил Баха». Затем берёт у Сергея Рахманинова уроки игры на фортепиано с целью аранжировки произведений, написанных для фортепьяно, к аккордеону. Познакомился с Карлосом Гарделем, который пригласил юношу попробовать себя в кино, Астор снялся в эпизодической роли в фильме «День, когда ты меня полюбишь» (1935). В 1937 он вернулся в Аргентину, играл в ночных клубах с разными музыкантами, в том числе — с Анибалом Тройло. Пьяццолла продолжает брать уроки у Альберто Хинастеры, и в 1946 г. создаёт свой первый собственный оркестр «Астор Пьяццолла и его характерный оркестр». Но его цели этим не ограничиваются. Мечта Пьяццоллы заключается в превращении аккордеона из оркестрового инструмента, используемого в качестве музыкального сопровождения танцев, в инструмент для исполнения классической музыки. Пьяццолла начинает писать классическую музыку для аккордеона. В 1950 г. в США его произведение «Портовая рапсодия» было награждено специальной премией.
В 1953 г. его симфония «Буэнос-Айрес» удостоена премии Фабиана Севицкого, а в 1954 г. «Синфониета» номинируется на премию Ассоциации музыкальных критиков Буэнос-Айреса. В 1952 г. Пьяццолла удостоен премии композиторов Франции, и французское правительство предоставляет ему стипендию для обучения в Париже у Нади Буланже. Надя вдохновляет Пьяццоллу на поиски и создание своего собственного музыкального стиля.
По окончании французского периода Пьяццолла создаёт два ансамбля: Октет Буэнос-Айреса и Струнный оркестр. Творчество ансамблей совершает настоящую революцию в мире городской музыки, но против неё поднимается волна безжалостной критики. Пьяццолла не отчаялся, а продолжил свою линию. Музыкальные фирмы его бойкотируют, и Пьяццолла вынужден уехать в Нью-Йорк, где работает в качестве аранжировщика. Два года спустя Пьяццолла возвращается в Буэнос-Айрес и создаёт квинтет. С каждым днём музыкант приходит к убеждению, что танго является музыкой, предназначенной для прослушивания, а не для танцев. Пьяццолла даёт концерты, записывает пластинки и несколько раз совершает турне по Аргентине, Бразилии и США.
В 1963 г. Пьяццолла завоевал музыкальную премию Hirsch и написал произведение «Три симфонических движения», которое в том же году было исполнено оркестром под руководством Поля Клецки. В 1965 г. Пьяццолла сотрудничает с Хорхе Луисом Борхесом, сочиняя музыку к его стихотворениям. Диск «Танго» выходит в том же году. В 1967 г. в сотрудничестве с Орасио Феррером Пьяццолла пишет опериту «Мария из Буэнос-Айреса». Затем по просьбе маэстро Кальдерона, руководителя Музыкального Ансамбля Буэнос-Айреса, сочиняет пьесу «Тангасо», которая была исполнена оркестром во время турне по США. Пьяццолла пишет «Танго Шесть» для Мелос Ансамбля и «Милонга ет Рэ» для скрипача Сальваторе Аккардо.
В результате сотрудничества с Феррером Пьяццолла приобретает новый опыт: танго-песня. В 1969 г. произведение «Баллада для безумца» завоёвывает всемирное признание. Этот, более коммерческий, жанр делает Пьяццоллу известным широкой публике. Его публика, до этого дня состоявшая в основном из узкого круга посвящённых, становится всё более многочисленной, и Пьяццолла получает признание как подлинный выразитель музыки Буэнос-Айреса. В 1970 г. Пьяццолла уезжает в Париж и совместно с Феррером создает ораторию «Молодой народ», премьера которой состоялась в Сарбруке.
В 1971 г. Пьяццолла создает группу «Ансамбль Девяти». Муниципальный совет Буэнос-Айреса подписывает с группой контракт на 2 года для проведения концертов в Аргентине и за рубежом. Пьяццолла имеет большой успех в странах Латинской Америки. В 1972 г. состоялся концерт в Италии в Итало-Американском институте, где прошла премьера «Ансамбля Девяти». Пьяццолла записывает ряд программ для телевидения Италии. 17 августа 1972 г. Пьяццолла начинает работать в Театре Колон. Репетиции мешают музыканту принять предложение Бернардо Бертолуччи о написании музыки к кинофильму «Последнее танго в Париже». Пьяццолла пишет музыку к кинофильмам «Джин и Поль» и «Предпоследний». В августе 1972 г. в Буэнос-Айресе состоялся «Перламутровый концерт».
В 1974 г. по просьбе величайшей фигуры в мире джазовой музыки Джерри Маллигана, Пьяццолла и Маллиган записывают альбом «Саммит» с оркестром итальянских музыкантов (Астор Пьяццолла: бандонеон, Джерри Маллиган: баритоновый саксофон, Ангел Гатти: клавишные, Туллио Де Пископо: ударные, Джузеппе Престипино: бас, Альберто Балдан и Джиани Цилоли: маримба, Филиппо Дакко и Бруно Де Филиппи: электрогитара, Умберто Бенедетти Микеланджели: скрипка, Ренато Риццио: альт, Эннио Миори: виолончель). Изначально планировалось, что будет поровну композиций Маллигана и Пьяцоллы, но в окончательный вариант вошла только одна композиция Маллигана: Aire de Buenos Aires.
В 1976 г. пишет музыку для фильма В Сантьяго идет дождь. В 1986 г. вместе с Гарри Бартоном Пьяццолла записывает «Сюиту для вибрафона и новый квинтет танго».
В последние годы Пьяццолла предпочитал участвовать в концертах в качестве солиста в сопровождении симфонических оркестров, иногда он давал концерты со своим квинтетом. Пьяццолла выступал в США, Японии, Италии, Германии, Франции, Латинской Америке и т. д., расширяя, таким образом, рамки публики на каждом континенте во имя славы музыки Буэнос-Айреса.
Пьяццолла совместно с Lalo Schiffrin и St Lukes Orchestra записал «Концерт для аккордеона», Три танго для аккордеона с оркестром и «Сюиту Пунта дель Эсте». С Kronos квартетом музыкант записал сюиту «Five Tangos Sensations», которая стала его последним произведением и в течение нескольких лет занимала ведущие позиции в рейтинге произведений классической музыки. В 1990 г. маэстро Ростропович исполнил в Новом Орлеане музыку для виолончели и фортепиано «Большое танго». Это же произведение было исполнено Ростроповичем на сцене Театра Колон на концерте памяти Пьяццоллы в 1994 г.
Астор Пьяццолла — один из немногих композиторов, который смог записать и исполнить на концертах почти все свои произведения. В последние 10 лет своей жизни композитор сочинил более 300 танго, 50 мелодий к кинофильмам, среди которых такие фильмы, как «Пираньи» (Луис Берланга), «Генрих IV» (Марко Белоккьо), «Свет» (Жанна Моро), «Армагеддон» (Ален Жесуа), «Юг» и «Ссылка Гарделя» (Фернандо Соланас), а также музыку к театральным спектаклям и балетам. В Италии жюри премии критиков единогласно удостоило Пьяццоллу Первой Премии за Лучший диск инструментальной музыки, отметив в своём решении: «За смелость композиций и за поразительное творчество в создании аранжировок, придающих танго новое звучание».
В феврале 1993 г. в Лос Анжелесе Астор Пьяццолла был номинирован на премию Грэмми 1992 за произведение Oblivion в категории «Лучшая инструментальная композиция». Международная критика охарактеризовала Oblivion как одно из лучших произведений Пьяццоллы.
Астор Пьяццолла умер в Буэнос-Айресе 4 июля 1992 г. в результате тромбоза мозговых сосудов, наступившего 4 августа 1990 г.
Среди его учеников — Ришар Гальяно.