Родился Аудрис Юозас Бачкис 1 февраля 1937 года, в Каунасе, в семье литовского дипломата Стасиса Антанаса Бачкиса и учительницы Оны Бачкене. Поскольку в 1938 его отец Стасис Бачкис был назначен в посольство Литвы во Франции, то семья бежала на Запад после присоединения Литвы к СССР в 1940 году, перед Второй мировой войной. После Второй мировой войны семья осталась во Франции.
В 1955 году получил среднее образование в институте Сен-Мари-де-Монсо и поступил в семинарию Сен-Сюльпис в Исси-ле-Мулино, где изучал философию. Получил богословское образование в Папском Григорианском университете в Риме.
Помимо своего родного литовского языка, он говорит по-итальянски, по-английски и по-французски.
18 марта 1961 года рукоположен в священника, в Риме. Ординацию провёл кардинал Луиджи Тралья — генеральный викарий Рима.
В течение некоторого времени работал в США, обеспечивая пастырское окормление литовской общины. После этого он вернулся в Рим и поступил в Папскую дипломатическую академию. Одновременно изучал церковное право в Папском Латеранском университете и получил степень доктора канонического права.
В 1964 году закончил обучение и поступил на дипломатическую службу Святого Престола. Cекретарь Апостольской нунциатуры на Филиппинах в 1964—1965 годах. Cекретарь Апостольской нунциатуры в Коста-Рики в 1965—1967. Секретарь Апостольской нунциатуры в Турции в 1967—1970 годах. Секретарь Апостольской нунциатуры в Нигерии в 1970—1973 годах. Тайный камергер Его Святейшества, 26 июня 1965 года (титул заменён на Капеллан Его Святейшества в 1968 году).
В 1973 году назначен на работу в Государственный секретариат Ватикана, служил в Совете общественных дел Церкви. Занимался вопросами международных организаций, мира и разоружения. В 1975 году он был членом делегации Святого Престолаа на конференции ООН в Вене. С 1979 году заместитель секретаря Совета общественных дел Церкви, Бачкису был дан титул Почётный прелат Его Святейшества.
5 августа 1988 года избран титулярным епископом Меты, с персональным титулом архиепископа (занимал тот пост до 24 декабря 1991 года), и назначен про-нунцием в Нидерландах. Ординация имела место 4 октября 1988 года, в патриаршей Ватиканской базилики. Ординацию совершил папа римский Иоанн Павел II, которому сослужили и помогали кардинал Акилле Сильвестрини — префект Верховного Трибунала Апостольской Сигнатуры и титулярный епископ Эгнации Юозас Прайксас — апостольский администратор Каунаса.
24 декабря 1991 года римский папа Иоанн Павел II учредил Вильнюсскую церковную провинцию и назначил А. Бачкиса архиепископом-митрополитом Вильнюсским.
Председатель конференции католических епископов Литвы (15 октября 1993 — 3 ноября 1999, 20 сентября 2002 — 20 сентября 2005). С 3 ноября 1999 года по 20 сентября 2002 года и с 20 сентября 2005 года — вице-председатель конференции католических епископов Литвы.
С 21 февраля 2001 года кардинал-священник с титулом церкви Nativit? di Nostro Signore Ges? Cristo a Via Gallia.
Бачкис был одним из кардиналов-выборщиков, которые участвовали в Папском Конклаве 2005, который избрал папу римского Бенедикта XVI. Бачкис сохраняет право голосовать на любых будущих Конклавах, которые могут начаться перед его 80-летием 1 февраля 2017 года.
В 2004 году, Бачкис принял неоднозначное решение о переносе иконы «Иисус Христос» (1934 год) Эугениуша Казимировского из церкви, которая используется польскими верующими Вильнюса (церковь Святого Духа), в менее известную церковь Святой Троицы. Это вызвало протестную реакцию среди прихожан и было трактовано как антипольский акт.