Родился 9 сентября 1865 года в Херсоне. Окончил в 1888 году юридический факультет Санкт-Петербургского университета, где являлся видным учеником профессора Н. Л. Дювернуа. Был приват-доцентом Петербургского университета по кафедре гражданского и торгового права; читал общий курс торгового права (1905—1912). Одновременно преподавал право на Высших женских (Бестужевских) курсах (с 1909).
В 1898 вместе с группой молодых юристов основал журнал «Право», в котором состоял соредактором. Участвовал в ряде сборников — «Нужды деревни» (1904), «Конституционное государство» (1904; второе издание 1905), «Первая Государственная дума», «Вторая Государственная дума» (1907). Автор трудов по торговому праву «Акционерные компании» (том I, Санкт-Петербург, 1902; магистерская диссертация); «Комментарий к вексельному уставу 1902 г.» (1902, третье издание 1913); «Очерки торгового права» (том I, 1910; второе издание 1912).
Один из организаторов и лидеров партии кадетов, член ЦК партии. Вместе с В. Д. Набоковым и М. М. Винавером был редактором еженедельного журнала «Вестник партии народной свободы» (1906—1917; с перерывами).
В 1918 эмигрировал в Финляндию, с 1920 жил в Берлине, соучредитель издательства «Слово» и один из основателей и руководителей газеты «Руль» (1920—1931); председатель Русской Академической группы в Берлине.
А. И. Каминка в последние свои годы жил в Риге. После захвата Риги немецкими войсками в июле 1941 года, началось массовое истребление евреев. Скорее всего, А. И. Каминка погиб в результате уничтожения населения Рижского гетто осенью 1941 года.