Родился в городке Эринген в Швабии. В юности жил в Хайденхайме, в 1927—1932 учился в университетах Тюбингена, Фрайбурга, Киля и Бонна. Получил диплом экономиста во Фрайбурге, в 1933 году в Бонне получил степень доктора.
Научную карьеру начал с изучения экономической демографии, рассматривал влияние демографических процессов (прежде всего, естественного прироста населения) на предложение рабочей силы и экономический рост отдельных территорий. Вскоре область интересов Лёша смещается в сторону изучения теории размещения производства и территориальной организации промышленности.
Первые работы Лёша привлекли внимание научной общественности и благодаря стипендии Рокфеллера в середине 1930-х он дважды посещал США, где изучал существовавшие в то время теории размещения производства и собирал материал для собственных исследований. Лёш негативно оценивал политику нацистов, однако, несмотря на предложения о работе в США, не захотел становиться эмигрантом и остался в Германии. В 1939 году он начал работать в Кильском институте мировой экономики старшим научным сотрудником. В 1940 году была опубликована основная работа Лёша «Die r?umliche Ordnung der Wirtschaft» (Географическое размещение хозяйства), вызвавшая большой резонанс в научной среде.
Неприятие Лёшем фашистского режима, его принципиальный отказ от вступления в НСДАП и прошлое сотрудничество с американскими коллегами привели к его научной опале. Ему не давали преподавать, сбор материала для «неблагонадежного» ученого оказался затруднен, вышедшее в 1944 г. второе издание книги «Географическое размещение хозяйства» было подвергнуто цензуре. В октябре 1944 года институт был эвакуирован из Киля в городок Ратцебург. Здоровье Августа Лёша, вынужденного работать в атмосфере постоянной нервозности, которая усугублялась обстановкой военного времени, было подорвано, он умер от скарлатины через три недели после окончания войны.
Август Лёш был первым ученым, предложившим теорию размещения производства в условиях рыночной экономики, где главная роль отводилась не снижению издержек (сырьевых и транспортных), а максимизации прибыли. Интегрируя опыт предшественников (Иоганн Тюнен, Вильгельм Лаунхардт, Альфред Вебер и др.), Лёш создает собственную концепцию экономического ландшафта, в котором определяющим фактором являются сбытовые зоны предприятий разного уровня, образующие сеть экономических районов с узлами в городах. Идеальная форма сети — шестиугольные соты, в реальности ячейки имеют форму треугольников или четырехугольников. В отличие от аналогичных построений Вальтера Кристаллера, предложенная Лёшем модель была моделью рыночного равновесия, а не плановым предписанием, фактически представляла собой модель территориальной самоорганизации общества и его экономической жизни.
Труды Августа Лёша были переведены на ряд иностранных языков (включая русский, 1959). Наибольший интерес они вызвали в США, где оказали большое влияние на становление школы пространственного анализа, в частности на работы Уолтера Айзарда, теоретическое ядро которых во многом представляет собой концепцию экономического ландшафта Лёша.