Ави Ран родился 25 августа 1963 года в израильском городе Хайфа. Начало детства Ран со своей семьёй провёл в пригороде Хайфы в местечке Кирьят-Хаим, где в то время базировался футбольный клуб «Хапоэль» из Хайфы. Отец Ави, Моша Ран, бывший вратарь «Бахапоал» Хайфа сразу записал сына в футбольную секцию «Хапоэля». После того, как семья Рана переехала в район западный Кремень в Хайфе, Ави пришлось покинуть футбольную секцию «Маккаби», в которой Ави занимался до 11 лет. Ближе всего к новому жительству Рана находилась футбольная секция клуба «Маккаби», в ней он и стал заниматься. Пройдя через все юношеские секции, Ави с 1979 года стал выступать за молодёжный состав «Маккаби», уже тогда талантливого вратаря можно было призвать в молодёжную сборную Израиля.
В основной команде «Маккаби» Ави дебютировал в возрасте 18 лет 7 ноября 1981 года в матче чемпионата Израиля против «Маккаби» из Тель-Авива. На тот момент оба вратаря клуба были травмированы, поэтому председатель молодёжного департамента «Маккаби» Ноам Решеф порекомендовал выставить в ворота молодого Рана. Дебют Ави выдался удачным, его команда сыграла вничью 0:0, но в без голевом матче Ран не смог продемонстрировать все свои вратарские навыки. В своём втором матче за «Маккаби», который состоялся на стадионе Кирьят Элиэзер, Ави пропустил всего один мяч от «Маккаби» из города Яффо, но в итоге его команда выиграла со счётом 2:1. После своего дебюта в чемпионате Израиля 1981/1982 Ави так и оставался основным вратарём команды, отыграв в чемпионате 20 матчей в подряд и пропустив в свои ворота 19 мячей. Его «Маккаби» по итогам сезона занял 7-ое место в чемпионате.
В 1983 году новым главным тренером «Маккаби» стал англичанин Джэк Мэнселл, работавший до этого со сборной Израиля. После прихода нового тренера Ран потерял место в основном составе. Шломо Шарф
6 июля 1985 года «Маккаби» провёл первый групповой матч кубка Интертото 1985 против австрийского «Штурма». На домашнем стадионе «Маккаби» сыграл вничью 1:1. Летом 1985 года Ави вместе с командой отправился на предсезонный сбор в Австрию, там же команде и предстояло провести ответный матч кубка Интертото против клуба «Штурм» из Граца.
(откорректировано по состоянию на 25 декабря 2008 года)
В национальной сборной Израиля Ави дебютировал 28 января 1986 года в матче против сборной Шотландии.
В мае 1987 года сборная Израиля сыграла товарищеский матч против английского «Ливерпуля», чьим тренером в том матче был нападающий Иан Раш, который должен был перейти в итальянский «Ювентус». Матч завершился поражением Израиля со счётом 3:0, но израильские газеты хорошо оценили игру Рана, дав ему 8 балов из 10. После того матча вратарём сборной Израиля сразу заинтересовались клуба Англии.
Итого: 9 матчей, пропущено 25 голов; 0 побед, 1 ничья, 8 поражений
В субботу 11 июля 1987 года Ави вместе со своими друзьями отправился в Тверию на пляж «Гай» озера Кинирет. Стоило Ави на отплыть от берега на водном мотоцикле несколько десятков метров, как в него врезалась спортивная моторная лодка. Тело Рана смогли доставить к гостинице Волана Галилея, к нему же уже через несколько минут прибыла скорая помощь, медицинская подстанция была близко к пляжу, медик скорой, Йосеф Мор сразу сообщил что Ави получил слишком серьёзные травмы. Но все же его доставили в местную больницу, первым кто туда прибыл, был Леви Бей, он был близким другом Ави. Леви сразу поспешил к врачам и стал их умолять сделать всё возможное чтобы спасти Рана.
Из воспоминаний Леви Бея:
Леви Бею было суждено сообщить родителям Рана о смерти сына. Гибель Ави потрясла всю Хайфу и Израиль, десятки тысяч людей пришли на панихиду, которая состоялась на стадионе Кирьят Элиэзер. На похоронах одного из величайших вратарей Израиля присутствовало 15 тысяч человек.
В 1998 году, спустя 11 лет с момента смерти Ави, его клуб в честь 50-летия провозглашения Израиля назвал 11 лучших футболистов своего клуба за всё его существования клуба, лучшим вратарём в истории команды стал именно Ави Ран.
Кубок Израиля среди молодёжных команда носит имя в честь Ави Рана.
14 сентября 2008 года в Хайфе состоялось торжественное открытие монументальной скульптуры в честь Ави Рана. Памятник был установлен на южном въезде в Хайфу на территории парка между каньоном «Хайфа» и зданием Электрической компании «Хеврат хашмаль». Деньги на создание скульптуры выделил израильский бизнесмен Уди Анджел. В церемонии открытия принимал участия мэр Хайфы Йоны Яхава, депутатов Кнессета Моше Кахлона и Уди Анджела, а также члены семьи Ави Рана.