Д.И. Азбукин родился в г. Орёл в семье педагога начальной школы. Закончил медицинский факультет Московского университета.
В 1905 г. участвует в Москве в революционных событиях. В 1907 г. был арестован за участие в этих событиях. Во время Первой мировой войны служил военным врачом психиатром в Москве а затем главным врачом неврологического госпиталя в г. Ровно.
В 1919 г. избирается профессором кафедры психиатрии Уральского университета. В 1922 г. в Москве получает степень доктора медицины. В 1924 г. преподаёт в институте Педологии и дефектологии. С 1925 г. работает на педагогическом факультете Второго МГУ (ныне МПГУ) в качестве заведующего дефектологическим отделением. Получает звания профессора лечебной педагогики. В 1931 г. становится деканом дефектологического факультета и заведующим кафедрой психопатологии Московского государственного педагогического института А. С. Бубнова.
Скончался в Москве 8 июня 1953. Похоронен на Ваганьковском кладбище.
Д.И. Азбукин написал целый ряд работ по психиатрии, в которых касается многих проблем патологии психики человека. В 1914 г. он описывает нервно-психические расстройства, связанные с интоксикацией аммиаком у рабочих кожевенного производства. В 1926 г. изучает вопросы курортного лечения неврозов. Исследует особенности психической травматизации педагогов-дефектологов и выдвигает положения об охране их здоровья.
Значимы его исследования и в области изучения умственно отсталых детей. Он разработал классификацию олигофрении по принципу эндокринной патологии. Избрав этот критерий, Дмитрий Иванович предвосхитил открытие энзимопатий – нарушений биохимического метаболизма – в качестве одной из важнейших причин умственной отсталости. Большое значение он придавал роли наследственности в происхождении нервно-психических и соматических заболеваний (мигрень, слепота и её сочетание с умственной отсталостью, шизофренией).
Д.И. Азбукин предлагал проводить терапию умственной отсталости гормональными и другими препаратами – естественными метаболитами, повышающими общебиологический и психический тонус.
Кроме того, Дмитрий Иванович разрабатывал комплексный медико-педагогический подход к работе с умственно отсталыми детьми. А так же вопросы медико-педагогического сопровождения в учреждениях для умственно отсталых и положения о медицинской службе во вспомогательной школе (вопросы отбора, гигиенического режима, медицинского оборудования). Он высказывает мысль о содействующих классах для отстающих детей (по современной терминологии дети с задержкой психического развития).
Дмитрий Иванович написал одну из первых работ по истории олигофренопедагогики в России. В них он показал роль В.П. Кащенко и М.П. Постовской в развитии отечественной дефектологии.
Кроме дефектологии Д.И. Азбукин интересовался так же составлением психологических портретов, он написал ряд исследований посвященных психопатологическому анализу личности известных деятелей культуры и литературных героев. Он сделал психологический анализ героев поэмы Н.В. Гоголя «Мёртвые души», описал динамику психического состояния А.П. Чехова в период обострения туберкулезного процесса. Им опубликован генеалогический анализ семей Ф.М. Достоевского, В.М. Гаршина, Л.Н. Толстого.
Вышесказанное позволяет говорить об Д.И. Азбукине как о выдающимся психиатре и крупном организаторе дефектологической науки.