Бахрам Мансуров родился в состоятельной бакинской семье. Его отец, Мешеди Сулейман бек Мансуров, славился как меценат и прекрасный знаток мугама. Виртуозный исполнитель тара, Мешеди Сулейман бек часто устраивал в своём особняке в Ичери Шехер музыкальные меджлисы (собрания). В 1925 году Бахрам Мансуров окончил школу. В 1929 году его пригласили в качестве тариста в оркестр при художественном объединении «Азконцерт», в составе которого на тот момент были такие известные исполнители, как Гурбан Примов, Джаббар Гаръягды оглы, Хан Шушинский и другие. Работая в этом оркестре, музыкант вместе с оркестром объездил весь Азербайджан и побывал во многих городах СССР. В 1931 году Бахрама Мансурова пригласили в новообразованный оркестр народных инструментов, а через некоторое время тариста приняли на радио. В 1932 году по инициативе Муслима Магомаева старшего Бахрам Мансуров приступил к работе в театре оперы и балета в качестве солиста — аккомпаниатора. В 1938 году Бахрам Мансуров участвует в декаде Азербайджанской культуры в Москве. В 1941 году в составе коллектива азербайджанского театра оперы и балета Бахрам Магсуров отправился в Иран. Гастроли коллектива имели большой успех в этой стране. По возвращении из Ирана Мансурова пригласили в Бакинское музыкальное училище преподавать мугам. Очень скоро он разработал собственную систему преподавания мугама.
В годы великой отечественной войны Бахрам Мансуров фактически беспрерывно выступал перед солдатами и ранеными. В 1944 году он повторно отправляется в Иран и выступает во многих городах Ирана. После войны за свои труды музыкант был удостоен многих наград и почётных грамот.
При содействии ЮНЕСКО были выпущены две пластинки музыканта в 1971 и в 1975 году, по линии этой организации Бахрам Мансуров неоднократно участвовал на международных симпозиумах и концертах в Европе. В результате сотрудничества музыканта с некоторыми музеями и архивами СССР им из семейного архива были переданы в дар ценные материалы по истории азербайджанской музыкальной культуры. А музею японского города Осака Бахрам Мансуров передал в дар свой тар. В 1978 году ему было присвоено звание народного артиста Азербайджанской ССР.