Рамеев родился 1 мая 1918 г. (в паспорте указана другая дата — 15 мая) в семье горного инженера в местечке Байма?к; в биографиях с примечанием (Татария). На самом деле, речь, видимо, идёт о г. Баймак Оренбургской губернии, в настоящее время Республика Башкортостан.
Дед — Закир Садыкович Рамеев (1859—1921) был поэтом (известным под псевдонимом Д?рдм??нд), классиком татарской литературы, а помимо этого — богатым золотопромышленником, членом Государственной Думы.
Отец Искандар Закирович Рамеев учился до начала Первой мировой войны в Горной академии в Германии, в апреле 1938 г. был арестован, осуждён на пять лет и умер в 1943 г. Лишь через 20 лет И. З. Рамеев был реабилитирован посмертно.
В 1935 г. Б. И. Рамеев стал членом Всесоюзного общества изобретателей; В 1937 г. поступил в Московский энергетический институт. В 1938 г. после ареста отца Б. И. Рамеев был отчислен из института (и надолго остался без формального диплома о высшем образовании), он долго не мог найти работы. Наконец, в 1940 году он устроился техником в Центральный научно-исследовательский институт связи. С началом Великой Отечественной войны Б. И. Рамеев пошёл добровольцем в батальон связи Министерства связи СССР. В составе специальной группы обеспечения войск 1-го Украинского фронта УКВ-связью Б. И. Рамеев участвовал в форсировании Днепра в 1943 г. и освобождении Киева.
В 1944 г. он был освобождён от службы в армии в соответствии с приказом о специалистах, направляемых для восстановления народного хозяйства. Поступил на работу в ЦНИИ № 108, руководил которым академик А. И. Берг. В начале 1947 года, слушая передачи «Би-Би-Си», Рамеев узнал о том, что в США создана ЭВМ «ЭНИАК», и почувствовал желание заняться этой новой тогда областью науки и техники. По рекомендации А. И. Берга он обратился к члену-корреспонденту АН СССР И. С. Бруку и в мае 1948 года был принят инженером-конструктором в Лабораторию электросистем Энергетического института АН СССР.
Уже в августе 1948 Исаак Брук и Башир Рамеев представили первый в СССР проект «Автоматическая цифровая электронная машина».
Среди множества разработок Рамеева — ЭВМ «Стрела», серия ЭВМ «Урал».
То, что Башир Рамеев остался формально без высшего образования не помешало ему стать главным инженером и заместителем директора по научной работе Пензенского НИИ математических машин (ныне — ОАО «Научно-производственное предприятие «Рубин», г. Пенза), где он работал с 1955 по 1968 гг. и получить впоследствии степень доктора технических наук без защиты диссертации.
Башир Искандарович Рамеев умер 16 мая 1994 года в Москве. Похоронен на Новокунцевском кладбище.