Бела Шароши начал свою карьеру в клубе «Ференцварош». Первоначально все сравнивали Белу с его братом, звездой клуба. Однако Бела не пошёл в атаку, а стал играть на позиции центрального полузащитника. Там он использовал свои сильные черты — высокий рост (почти 2 метра), чтобы бороться с игроками соперника, и сильные удары с обеих ног из-за пределов штрафной. В 1938 году Бела впервые стал чемпионом Венгрии, а спустя несколько месяцев был вызван в сборную страны, котоаря поехала на чемпионат мира, где стала серебряным призёром. Первый выход на поле Шароши в составе сборной состоялся 16 марта 1939 года в игре со сборной Франции, завершившейся вничью 2:2. 7 апреля 1940 года Шароши забил свой первый и единственный мяч за сборную, поразив ворота Германии ударом с 28 метров. Последний матч за национальную команду Шароши провёл 30 сентября 1945 года с Румынией. А спустя год, 6 июля 1946 года, он провёл последний матч за «Ференцварош», после чего самостоятельно, с женой, пересёк авто-венгерскую границу и оттуда уехал в Италию.
В Италии Шароши подписал контракт с «Болоньей». Он дебютировал в её составе 17 ноября 1946 года в матче с «Лацио», который завершился победой «Болоньи» 3:1. Шароши провёл в «Болонье» 3 сезона, сыграв в 77 матчах и забив 4 гола. После этого он перешёл в «Бари», там он отыграл 1 сезон. Затем играл в колумбийском «Хуниор», в «Порту», клубе «Реал Сарагоса» и «Лугано», в котором завершил карьеру в 1952 году.
Завершив карьеру игрока, Шароши начал тренерскую карьеру. В 1955 году он возглавил клуб «Базель» и проработал с этой командой два сезона. Затем он тренировал немецкие «Регенсбург» и «Алеманию» (с июля 1958 по октябрь 1959 года). Позже он проработал сезон в бельгийском клубе «Беерсхот», а оттуда ушёл в «Барселону», где работал ассистентом Ладислао Кубалы. Последним клубом в тренерской профессии Шароши стал «Реал Сарагоса».