Родился в уездном бессарабском городке Сороки (ныне райцентр Сорокского района Молдовы) в семье народного учителя (Авраам Наумович Катловкер, 1844—1907, был светским членом пятой сессии Раввинской комиссии при Министерстве внутренних дел Российской империи в 1893—1894 годах, казённым раввином и почётным гражданином Кишинёва). Учился в 1-й кишинёвской гимназии, затем на медицинском отделении Киевского университета, работал врачом в Кишинёве.
В 1897 году в Петербурге основал издательство «Копейка» и одноимённое акционерное общество (совместно с М.Б. Городецким, 1869—1918, и А.Э. Коганом, 1878—1949). Издательство выпускало газету «Копейка» с приложениями и ряд других изданий , выходивших колоссальными по тем временам в России тиражами — «Газета-копейка», «Журнал-копейка» с иллюстрациями, юмористический «Листок-копейка», «Весёлый балагур», «Альбом Копейки», еженедельник «Всемирная панорама» (1909—1918, в 1909—1913 годах — иллюстрированное приложение «Газеты-копейки»), иллюстрированный журнал "Солнце России", журналы "Волны" (1912—1917) и «Ежедневная почта» (1907—1916), еженедельный художественно-сатирический журнал «Вампир» (1906), уголовно-приключенческие романы. С 1909 года газета «Копейка» издавалась теми же издателями и в Москве, во многих российских городах имелись собственные листки—приложения к газете.
Тираж основного из этих изданий — газеты «Копейка» — к 1914 году достиг 250 тыс. экземпляров; газета выходила в виде четырёх отдельных изданий, различавшихся по объёму и числу приложений. И утренний и вечерний выпуски газеты стоили одну копейку (против обыкновенной цены в 5 копеек большинства прочих газет).
Катловкер был редактором большинства из этих изданий, в том числе журналов «Всемирная панорама», «Ежедневная почта», «Вампир» и «Волны». В 1906 году выпустил книгу сатирических стихов под псевдонимом «Тень»; три стихотворения из этой книги — «Баллада о премьере», «Жалобная песня», «Честное слово! Куплеты» — были включены в сборник «Стихотворная сатира первой русской революции: 1905—1907» (Библиотека поэта. Большая серия. Второе издание. Ленинград, «Советский писатель», 1969). Под этом же псевдонимом публиковал сатирические стихи во всех приложениях «Копейки».
После революции — был главой редакции «Рабочей газеты» и газеты «Батрак». В 1930-е годы работал главным редактором в издательстве «Молодая гвардия». Под редакцией Б. А. Катловкера был издан сборник документов и материалов «Памятники архитектуры, разрушенные или повреждённые немецкими захватчиками» (вып. 1, М.: Издательство Академии архитектуры СССР, 1942).