Воспитанник донецкого «Шахтёра». Весной 2008 года был переведён в «Шахтёр-3». Во Второй лиге дебютировал 3 апреля 2008 года в матче против луганского «Коммунальника» (1:2), в этом матче Богдан забил один из голов. В сезоне 2008/2009 вместе с дублем «Шахтёра» стал победителем молодёжного чемпионата Украины.
В юношеской сборной Украины до 17 лет дебютировал 14 ноября 2006 года в матче против Нидерландов (0:0). Всего за сборную до 17 лет провёл 21 матч.
В юношеской сборной до 19 лет дебютировал 5 января 2009 года в матче против Бельгии (0:0). Бутко был включён Юрием Калитвинцевым в состав сборной на чемпионат Европы 2009 года в Донецке и Мариуполе. Сыграл всего 2 матча на групповой стадии против Словении (0:0) и Англии (2:2), из-за полученной травмы. В финале Украина обыграла Англию (0:2).
В национальной сборной первый матч сыграл в 20 лет, 2 сентября 2011 года, отыграв все 90 минут в спарринге с Уругваем, пятой командой мира по рейтингу на тот момент. Его игру прокомментировал главный тренер сборной Олег Блохин: «Очень понравился дебют Бутко, он по-моему меньше меня волновался. Вот на таких парнях и будем строить игру.»