Борис Александров родился 22 июля (4 августа) 1905 года в Бологое, отец — композитор и дирижёр Александр Васильевич Александров.
С 1912 года Борис Александров пел в хоре отца, с 1918 года — в хоре Большого театра. С 1923 по 1929 годах руководил различными московскими музыкальными клубами. Закончил курсы изобразительного искусства, Музыкальный техникум имени А. Н. Скрябина, а в 1929 году — Московскую консерваторию имени П. И. Чайковского по классу композиции Рейнгольда Морицевича Глиэра).
С 1930 по 1937 годы Борис Александров работал дирижёром и заведующим музыкальной частью Театра Красной Армии, а с 1933 по 1941 годы — одновременно работал преподавателем Московской консерватории имени П. И. Чайковского, в 1939 году став доцентом консерватории, с 1937 года с небольшими перерывами — дирижёром и заместитель художественного руководителя Ансамбля песни и пляски Красной Армии.
В августе 1941 года отъезжавшие на фронт с платформ Белорусского вокзала Москвы солдаты впервые услышали написанную Александром Александровым песню «Священная война», которую исполнял оркестр под руководством сына автора песни — дирижёра Бориса Александрова.
В 1942 году Борис Александров сам организует и до 1946 года становится художественным руководителем Ансамбля советской песни Всесоюзного радио.
В Красной Армии с 1943 года. Вместе с ансамблем Борис Александров выезжал на различные участки фронта. В репертуар военного ансамбля песни и пляски вошло около ста песен, среди которых «Красная Армия — Советская Армия», «Да здравствует наша держава», «Песня о России», «Шли солдаты», «Песня Победы» и многие другие.
После смерти отца Борис Александров становится его преемником на посту начальника и художественного руководителя Академического дважды Краснознамённого ансамбля песни и пляски Советской Армии имени А. В. Александрова. До 1987 года Б. А. Александров продолжал дело своего отца, успешно руководив ансамблем песни и пляски, получившим мировое признание.
В 1973 году постановлением Совета Министров СССР полковнику Борису Александрову присвоено воинское звание «генерал-майор».
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 августа 1975 года за выдающийся вклад в развитие культуры и искусства и в связи с 70-летием со дня рождения, генерал-майору Борису Александровичу Александрову присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и медали «Серп и Молот».
В 1987 году после почти полувековой деятельности в ансамбле генерал-майор Александров ушел в отставку, передав руководство коллективом Игорю Агафонникову.
Борис Александрович Александров скончался 17 июня 1994 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Военно-патриотическая тематика присутствует в его сюите-триптихе «На страже мира» и оратории «Солдат Октября защищает мир». Борис Александров является автором семи оперетт, в том числе — «Свадьба в Малиновке» (1937 год; была экранизирована в 1967 году — «Свадьба в Малиновке»), «Сотый тигр», «Девушка из Барселоны» (1942 год, либретто А. Софронова), «Моя Гузель» (1946 год) и других, двух балетов, в том числе — «Левша» (1955 год), двух симфоний, трёх кантат, концертов для различных инструментов с оркестром, ряда статей о музыке.
Автор песни «Да здравствует наша держава», которая в 1943 году была представлена в качестве кандидата на гимн СССР.
Награждён:
Александров, Борис Александрович на сайте «Герои страны»