Родился в 1880 году в Тифлисе. Окончил Тифлисскую классическую гимназию, затем в 1902 году Петербургский институт инженеров путей сообщения. В 1903 году он продолжил образования в Цюрихском политехническом институте. В 1911 году защитил докторскую диссертацию в Институте инженеров путей сообщения в Санкт-Петербурге.
С 1905 по 1917 годы он являлся профессором по кафедрам гидравлики, гидроэнергетики, теоретической и прикладной механики Петербургского политехнического института.
С начала Первой мировой войны Бахметьев стал заниматься общественно-политической деятельностью, так например, в 1915 году он включился в работу Международного Красного Креста на территории Российской империи. Он являлся членом Военно-промышленного комитета и Закупочной комиссии, которая занималась организацией поставок снаряжения для русской армии из США и Великобритании. В 1917 году Бахметьев стал товарищем министра торговли и промышленности Временного правительства, а через некоторое время был назначен послом России в США.
После Октябрьской революции в России Бахметьев остался в США и, формально оставаясь послом России в США, он продолжил свою деятельность в Закупочной комиссии и в работе Русского информбюро в Нью-Йорке. Так как Конгресс критиковал правительство США за поддержку российских дипломатов, более не представлявших действительное правительство России, 30 июня 1922 года Бахметев ушел в отставку. Он взял на себя заботы об эмигрантах, прибывших из России в США, в том числе он помогал в обустройстве в США таким выдающимся деятелям науки как В. Зворыкин, О. Струве, И. Сикорский, С. Тимошенко.
Бахметьев принимал активное участие в разработке проектов документов для Парижской мирной конференции 1919 – 1920 годов.
Он явился инициатором создания в США Российского гуманитарного фонда («Бахметьевский гуманитарный фонд», не путать с герценовским «Бахметьевским фондом»), который он возглавлял в течение многих лет. Документы разнообразного характера, в том числе и дипломатические, русской эмиграции, которые он собирал долгое время явились основой организованного им архива российский и восточноевропейской истории и культуры Колумбийского университета США, который позднее был назван его именем. Он также был директором организованного при его участии фонда помощи российским студентам.
После подписания в 1922 году Рапалльского договора Советской России с Германией Бахметьев вернулся к научно-инженерной деятельности. В 1923 году им была открыта в Нью-Йорке консультационная фирма по вопросам проектирования гидравлических систем, а также он являлся одним из учредителей ряда других фирм научно-технического характера. Наиболее тесно Бахметьев сотрудничал с фирмой «Lion Match Co», в которой он являлся председателем совета компании.
В это же время он занимался научными исследованиями по гидродинамике – он исследовал переменные потоки жидкости в лаборатории гидравлики Колумбийского университета Нью-Йорка, а с 1931 года стал профессором кафедры гражданского строительства этого университета. Бахметьев один из первых применил методы аэродинамики в гидродинамике, что открывало новые перспективы в развитии этой науки о течении жидкостей.
Им были написаны получившие широкую известность такие научные работы по гидродинамике: «Переменные потоки жидкости» (1914), «Гидравлика открытых каналов» (1923), «Механика турбулентного движения» (1936). В середине 1940-х годов Бахметьев стал одним из членов – учредителей Американского Национального фонда Научных исследований, а также он входил в Национальный внешнеполитический совет, Ассоциацию прогресса науки, Академию наук историков Нью-Йорка и Коннектикута.
За свою работу «Механика турбулентного движения» Бахметьев был награждён Большой медалью общества дипломированных инженеров Франции. Он также являлся лауреатом премий Дж. Лори (1937) и Дж. Стивенса (1944), которые были ему присуждены за заслуги в развитии прикладной науки.
В 1945 году он был избран почетным членом Американского общества гражданских инженеров, членом которого он являлся с 1917 года. Он также являлся членом Американского общества инженеров – механиков и Института аэрокосмических наук.
Бахметьев являлся любителем и коллекционером работ российских живописцев, а также коллекционировал русские иконы.
Имя Бахметьева носит основанные им Бахметьевский гуманитарный фонд и Бахметьевский архив российской и восточноевропейской истории и культуры Колумбийского университета.