Работал в Серпуховской типографии треста «Мосполиграф», в 1931—1933 гг. учился на немецком отделении Московского института новых языков по специальности переводчика. Окончил в 1940 г. классическое отделение филологический факультет Московского института истории, философии и литературы, получил квалификацию преподавателя древних языков и античной литературы. Участник Великой Отечественной войны.
В 1945—1948 гг. учился в аспирантуре на кафедре сравнительной грамматики индоевропейских языков филологического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Защитил кандидатскую диссертацию «Общие вопросы теории артикля и проблема семантики употребления артикля в древнегреческом языке» 14 февраля 1949. Работал старшим преподавателем на той же кафедре.
За противостояние марризму подвергался проработкам в ходе последней марристской кампании 1948—1950, был уволен с факультета в начале 1950 г. После этого Серебренников, узнав о дискуссии вокруг Нового учения о языке, отправил свою резко критическую статью под названием «Об исследовательских приёмах Марра» в газету «Правда», не надеясь всерьёз на публикацию. Статья была напечатана, а после того, как на стороне противников «учения» выступил Сталин, Серебренникова ждала быстрая карьера.
Он был назначен заместителем директора Института языкознания АН СССР, а в 1953 г. был избран членом-корреспондентом АН СССР, ещё не будучи доктором наук.
В 1956 г. он защитил докторскую диссертацию по теме «Категория времени и вида в финно-угорских языках пермской и волжской групп». С 1960 по 1964 директор Института языкознания.
Б. А. Серебренников был выдающимся полиглотом.