Профессор Ленинградского государственного университета (1925—1931), Заслуженный деятель науки РСФСР (1945).
Совершил многочисленные поездки с целью изучения флоры и растительности Средней России, Урала, Дальнего Востока, Кавказа и в особенности Средней Азии, а также Западной Европы, Малой Азии и Алжира. Автор многочисленных работ по географии и систематике растений. Под редакцией Федченко выходил ряд научных периодических изданий и коллективных трудов.
Через восемь месяцев после рождения Бориса во время исследования ледников Монблана погиб его отец А. П. Федченко. С раннего детства под влиянием и руководством матери Ольги Александровны Федченко, дочери профессора Московского университета Александра Армфельда, Федченко-младший пристрастился к изучению природы и коллекционированию растений и животных, преимущественно в Московской губернии, затем, с 1891 года, ещё в бытность Федченко гимназистом, начались и его более дальние поездки — на Урал, в Крым, на Кавказ и, наконец, с 1897 года, в Туркестан.
Федченко окончил физико-математический факультет (естественное отделение) Московского университета, занимаясь ботаникой преимущественно в лаборатории профессора И. Н. Горожанкина. Сдав экзамен на степень магистра ботаники, Федченко был принят (в 1900 году) в число приват-доцентов Московского университета.
В том же году Федченко поступил на службу в Императорский Санкт-Петербургский ботанический сад, где достиг должности главного ботаника.
В 1905 году Федченко защитил диссертацию на степень магистра ботаники.
В 1908—1917 годах руководил ботаническими экспедициями Переселенческого управления и возглавлял ряд работ в области теоретической и прикладной ботаники.
По поручению Императорского Русского географического общества и Императорского ботанического сада Федченко был в Туркестане четыре раза: два раза на Тянь-Шане и два раза на Памире и в Шугнане. Результатами путешествий явились обширные (преимущественно ботанические) коллекции и ряд географических наблюдений и открытий (преимущественно ледников, которых Федченко открыл свыше сотни новых).
Интересуясь преимущественно природой Средней Азии, Федченко не порвал, однако, связей и со Средней Россией, ежегодно посвящая хотя бы немного времени экскурсиям в Московской, Калужской и других губерниях, а также исполняя там общественные обязанности уездного и губернского гласного.
Кроме путешествий и поездок по России, Федченко трижды был командирован с научной целью за границу.
В 1936 году Б. А. Федченко был избран членом Линнеевского общества в Лондоне.
Б. А. Федченко принимал участие в работе и деятельности Таджикской базы Академии наук СССР (1923—1946), Можайского отделения Главного ботанического сада (1920—1922), Центрального и Северо-западного бюро краеведения (1926—1928), треста «Каучуконос» и Всесоюзного института каучука и гуттаперчи (1930—1932), Комитета по заповедникам при Президиуме ВЦИК (1933—1940), Северного сельскохозяйственного общества (1905—1907), Русского географического общества (1906—1940); участвовал в работе Конференции по изучению производительных сил Средней Азии (1926), Естественно-исторического совещания Центрально-промышленной области (1928), II Всесоюзного географического съезда (1947) и в международных конгрессов: ботаническом и колониального земледелия в Брюсселе (1910), по садоводству в Австрии (1927), по лекарственным растениям в Венгрии (1928), VI Ботаническом конгрессе в Амстердаме (1935).
Борис Алексеевич за свою жизнь совершил множество научных экспедиций, он посетил с научными целями Среднюю Азию, Дальний Восток, Туркестан, Таджикистан, Дагестан, исследовал Ленинградскую область, был в Австрии, Англии, Алжире, Афганистане, Венгрии, Германии, Голландии, Италии, Норвегии, Франции, Чехословакии, Швейцарии, Швеции. Федченко был участником ботанических экскурсий в Венгрии (в долине Дуная для ознакомления со степной растительностью), в Чехословакии (в долине реки Йиглавы и в районе местечка Могельно), в Алжире (в районе горного хребта Атлас с целью изучения кедровых лесов, в окрестностях города Орлеансвилля для ознакомления с хлопчатником, в районе города Орана на побережье Средиземного моря для сбора ряда эндемичных видов, в глубь Алжира от Орана до укрепления Колон-Бешар для ознакомления с растительностью и сбора гербария в северной и средней Сахаре); международных геоботанических экскурсий в Швеции, Норвегии и Австрии.
Федченко редактировал ряд важных научных периодических изданий и коллективных трудов, в том числе, Флора Азиатской России, 15 выпусков, 1912—1920, и 3 выпуска новой серии, 1923—1924; Флора Забайкалья, 4 выпуска, 1929—1941; Флора юго-востока Европейской части СССР, 5 выпусков, 1927—1931; Сорные растения СССР, 4 тома, 1934—1935.