Сын кастеляна Перемышльского князя Антония-Станислава Святополк-Четвертинского, родился в 1784 г. в Перемышле.
Именным Высочайшим указом от 11 ноября 1792 г. князь Борис Четвертинский был записан в лейб-гвардии Преображенский полк.
Во время восстания Костющко в 1794 г., отец его был повешен поляками на глазах семьи за приверженность к России. В осиротелом семействе приняла живое участие императрица Екатерина. Она немедленно пожаловала вдове 1500 душ крестьян в Литве, в Гродненской губернии, а детей выписала в Санкт-Петербург, призрела и облагодетельствовала сирот. Обе дочери были сделаны фрейлинами и помещены во дворце, а молодой князь Борис был определён в кадетский корпус, откуда 1 января 1796 г., несмотря на свои еще почти весьма молодые годы, был выпущен подпоручиком в Преображенский полк.
Затем он быстро подвигается в чинопроизводстве. 6 ноября 1803 г. он вышел в отставку уже с чином полковника. Милости двора не прекращались и при воцарении императоров Павла и затем Александра; при последнем это были отношения почти родственные, поддерживаемые исключительною благосклонностью императора Александра к его сестре, Марье Антоновне.
18 июня 1805 г. Четвертинский поступил снова на службу, теперь в лейб-гвардии Гусарский полк. В это время, несколько отдалившись от сестры, он жил почти безвыездно со своим эскадроном в Царском Селе. Но лишь только начались Наполеоновские войны, он решил принять участие в них, и его участие в кампаниях, начиная с 1805 г. и до самого выхода в отставку в 1813 г., можно назвать блистательным.
В кампании 1805 г. Четвертинский состоял при графе Голенищеве-Кутузове и 12 января 1806 г. он, в чине полковника Павлоградского гусарского полка, награждён орденом св. Георгия 4-й степени (№ 633 по кавалерскому списку Судравского и № 1633 по списку Григоровича—Степанова)
24 февраля того же года он получил золотую саблю с надписью «За храбрость».
В кампании 1807 г. Четвертинский числился в Александрийском гусарском полку и находился при фельдмаршале графе Каменском. 20 мая 1807 г., за отличие при Фридланде, Четвертинский был удостоен прусского ордена «Pour le M?rite», и 21 сентября того же года пожалован орденом св. Владимира 3-й степени, 20 мая 1808 г. — св. Анны 2-й степени.
После этих военных подвигов Четвертинский 11 февраля 1810 г., снова оставил службу, несмотря на убеждения великого князя Константина Павловича и на желание самого императора удержать его на службе. Отставка его и в этот раз была непродолжительна.
Отечественная война с Наполеоном вызвала сильный подъем патриотического духа; начались пожертвования на сформирование ополчения, и одним из крупных жертвователей был граф Дмитриев-Мамонов, на средства которого образован был особый полк.
1 июля 1812 г. командиром этого полка, который был назван 1-м конным казачьим полком, император назначил князя Б. А. Четвертинского. По изгнании Наполеона князь Четвертинский снова удалился в отставку (16 июля 1813 г.).
Проживал в Москве и заведовал Московским конюшенным двором. 6 апреля 1835 г. он был пожалован в должность шталмейстера двора Его Величества, с чином действительного статского советника, и получил ордена св. Станислава 1-й степени (5 декабря 1837 г.) и св. Анны 1-й степени (11 сентября 1839 г.). В 1856 г. пожалован в обер-шталмейстеры.
Последние годы своей жизни князь Четвертинский прожил в Москве, в казённом доме у Колымажного двора, где и скончался 23 января 1865 г.; похоронен в своём имении в Подольском уезде Московской губернии.
Ф. Ф. Вигель писал о Четвертинском как о «красавце, молодце, опасном для мужей, страшном для неприятелей, обвешанном крестами, добытими в сражениях с французами».
Четвертинский был с 1809 г. женат на статс-даме княжне Надежде Фёдоровне Гагариной (1792-1883), дочери известной княгини П.Ю.Гагариной и сестре В.Ф.Вяземской. В семье было шесть дочерей и три сына.