Борис Добронравов родился в Москве 4 (16) апреля 1896 года в семье священника.
В период с 1909—1913 годы окончил духовное училище при Донском монастыре и затем Московскую духовную семинарию. Но решил, как и старший брат, посвятить себя физике и математике. В 1914 году поступил на физико-математический факультет Московского государственного университета.
В 1915 году прочитав в газете «Раннее утро» объявление об экзаменах во МХАТе, он шутки ради заключил с подругой пари, что сдаст экзамены. И благодаря внешним, а не актёрским данным его зачислили кандидатом в сотрудники МХАТа. В начале Добронравов думал, что сможет совмещать учёбу и актёрскую работу и для этого перешёл на более легкий юридический факультет МГУ. Но в 1916 году он совсем бросил учёбу .
В 1915—1918 годах играет в 1-й Студии Московского художественного театра. С 1918 - актер Московского художественного театра.
В 1919 году вместе с группой молодых актёров Художественного театра Борис Георгиевич организовал в Уфе труппу для обслуживания частей РККА.
Сестра — Елизавета Георгиевна Алексеева (1901-1972), актриса театра и кино, народная артистка СССР (1971).
Умер 27 октября 1949 года во МХАТе, прямо во время спектакля «Царь Фёдор Иоаннович» от паралича сердца — в день 51-й годовщины МХАТа, исполняя в 166-й раз свою любимую роль царя Фёдора.
Его со сцены отнесли в аванложу и положили на кожаный диван, на котором за четыре года до этого в гриме Ивана Грозного умер Н.П. Хмелёв. Добронравов всегда говорил, что его самое большое желание — умереть на сцене.
Похоронен на Новодевичьем кладбище.