Родился 12 (24) мая 1896 года в Павлограде, (ныне - Днепропетровская область, Украина), в семье представителя знаменитой династии тульских оружейников.
Родители увлекались театром, участвовали в любительских драматических спектаклях, пятилетний мальчик выступал на семейных концертах. Учился в Павлоградской казённой классической гимназии, затем был определён в кадетский корпус в Орле. В 1910 был принят в 3-й Московский кадетский корпус.
Играл Наполеона в любительском спектакле «Не в силе Бог, а в правде». Поступил в Коммерческий институт, но, мечтая о театре, записался в студенческую театральную студию (в дальнейшем Мансуровскую — по имени переулка, где она располагалась), художественным руководителем которой был назначен артист и режиссёр 1-й Студии МХТ Е. Б. Вахтангов (См. статью Театр им. Е. Вахтангова). 26 марта 1914 была сыграна пьеса Б. Зайцева «Усадьба Ланиных» (Захава играл студента Евгения), спектакль провалился. С 10 (23) октября 1914 (первая лекция Вахтангова) начались систематические занятия. Самодеятельный кружок стал театральной школой, позднее этот день будет считаться днём основания Театрального училища имени Б. В. Щукина при театре им. Евг. Вахтангова. С этого времени имя Б. Е. Захавы неразрывно связано с театром им. Евг. Вахтангова и театральным училищем при нём.
Режиссурой начал заниматься ещё под руководством Вахтангова. В 1923 Захава выпустил свой первый самостоятельный спектакль «Правда хорошо, а счастье лучше» А. Н. Островского, в котором чувствовалось влияние вахтанговской «Принцессы Турандот». После возвращения в сезоне 1923—1924 Вл. И. Немирович-Данченко назначил Завадского единоличным директором, что не разрядило атмосферу в Студии. «Вахтанговцы» организовали «Художественный актив» — коллективный орган руководства театром, председателем стал Захава. За пять лет были поставлены «Виринея» Л. Н. Сейфулиной, «Разлом» Б. А. Лавренева, «Барсуки» Л. М. Леонова, «На крови» Мстиславского, «Заговор чувств» Ю. К. Олеши..
После того, как был подписан правительственный указ о назначении главным режиссёром Вахтанговского театра Р. Н. Симонова, Захава был принят в труппу Театра им. Вс. Мейерхольда, сохранив за собой роли в вахтанговских спектаклях "«Чудо Святого Антония» (Доктор) и «Принцесса Турандот» (Тимур).
Б. Е. Захава скончался 12 ноября 1976, (по другим источникам - 25 ноября). Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.
Одна из его больших актёрских удач — роль Кутузова в фильме С. Ф. Бондарчука «Война и мир» (1965—1967) по роману Л. Н. Толстого.
Преподавательскую деятельность Захава начал ещё в 1918, в Школе-студии Вахтангова (с 1933 — Театральное училище им. Б. В. Щукина), 1925 стал её руководителем. Преподавал актёрское и режиссёрское мастерство. Профессор (1939).
Руководил узбекской студией в Москве (1927—1930), преподавал в Институте кинематографии (1937—1940), был заведующим кафедрой режиссуры в ГИТИСе (1944—1949).
Среди его учеников Владимир Федосеев.