Родился 1 марта 1912 года в городе Лодзь в Российской империи (на территории современной Польши) в еврейской семье служащих — Евсея Менасеевича Чертока (1870—1943), служащего, работал счетоводом, и Софьи Борисовны Явчуновской (1880—1942), фельдшера-акушера.
В 1914 году Польша оказалась зоной военных действий. Родители с потоком беженцев «русскоязычного населения», выехали в Россию и поселились в Москве.
В МВТУ Бориса Чертока не приняли из-за социального происхождения, хотя экзамены он сдал, сказали: «У тебя нет никакого рабочего стажа! Иди, поработай на завод, а через три года мы тебя с удовольствием примем, но уже как рабочего, а не как сына служащих». В августе 1930 года он был принят на работу в электроцех отдела оборудования (ОБО) — электромонтёром 4-го разряда на авиазавод № 22 в Москве, выпускавший самолёты ТБ-1. Участвовал во внедрении в производство самолёта ТБ-3. Участвовал в подготовке самолетов специального арктического варианта, на них И. Д. Папанин высадился на льдину: началась работа полярной станции СП-1 (1937). Был ответственным инженером по электро-радиооборудованию самолета Н-209 С, на котором летел в США через Северный полюс С.А. Леваневский (к слову, автор идеи такого перелета). В августе 1938 года занимал должность начальника конструкторской бригады «спецоборудования и вооружения самолётов» на том же заводе.
В 1934 г. Черток поступил на вечернее отделение в Московский энергетический институт, который окончил в 1940 году. С 1940 по 1945 год Б. Е. Черток работал в ОКБ главного конструктора В. Ф. Болховитинова на заводе № 84, затем на заводе № 293 и в НИИ-1 НКАП СССР под руководством генерал-лейтенанта авиации Я. Л. Бибикова.
В апреле 1945 года в составе специальной комиссии Б. Е. Черток был командирован в Германию, где до января 1947 года руководил работой группы советских специалистов по изучению ракетной техники. 2 мая 1945 года в звании майора расписался на Рейхстаге, что считал счастливейшим достижением в своей жизни. В том же году вместе с А. М. Исаевым он организовал в советской оккупационной зоне (в Тюрингии) совместный советско-германский ракетный институт «Рабе», который занимался изучением и развитием техники управления баллистическими ракетами дальнего действия. На базе института в 1946 году был создан новый институт — «Нордхаузен», главным инженером которого был назначен С. П. Королёв. С этого времени Борис Евсеевич работал в тесном сотрудничестве с Сергеем Павловичем Королёвым.
В августе 1946 года приказами министров авиационной промышленности и вооружения Б. Е. Черток переведён на должность заместителя главного инженера и начальника отдела систем управления Научно-исследовательского института № 88 (НИИ-88) Министерства вооружения.
В 1950 году он был переведён на должность заместителя начальника отдела, а в 1951 году — начальника отдела систем управления Особого конструкторского бюро № 1 (ОКБ-1) НИИ-88, главным конструктором которого был С. П. Королёв.
В 1974 году Б. Е. Черток назначен заместителем генерального конструктора Научно-производственного объединения «Энергия» по системам управления.
Вся научно-инженерная деятельность Б. Е. Чертока с 1946 года связана с разработкой и созданием систем управления ракетами и космическими аппаратами. Им создана школа, которая до настоящего времени определяет научные направления и уровень отечественной техники пилотируемых космических полётов.
Наряду с научной постоянно вёл и преподавательскую работу: с 1947 г. по 1978 г. в МВТУ, с 1978 года и до конца своих дней в МФТИ, заведовал кафедрой ФАКИ "Управление движением", читал курс "Управление большими космическими системами".
Своё поразительное научное и творческое долголетие Борис Евсеевич Черток объяснял ставшим естественным постоянным стрессовым состоянием, связанным с частыми «нештатными» ситуациями на земле и в космосе.
Супруга — Екатерина Семёновна Голубкина (1910—2004), племянница А. С. Голубкиной.
Сыновья — Валентин Борисович Черток (1939—2011), инженер, фотокорреспондент; Михаил Борисович Черток (род. 1945) — инженер, руководитель группы в РКК «Энергия» им. С. П. Королёва.
В понедельник 12 декабря 2011 года Борису Евсеевичу стало плохо, но лечь в больницу он отказался. Умер в 7:40 утра по местному времени 14 декабря 2011 года в Москве от сердечной недостаточности, не дожив до векового юбилея менее трех месяцев. Похоронен 16 декабря 2011 года на Новодевичьем кладбище.
Выдающиеся заслуги Б. Е. Чертока высоко оценены и научной общественностью. В 1961 году он был удостоен звания Героя Социалистического труда, в 1968 году он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР по Отделению механики и процессов управления, в 2000 году — действительным членом Российской академии наук, в 1990 году — действительным членом Международной академии астронавтики. Он — почётный член Российской академии космонавтики и член Международной академии информатизации.
Б. Е. Черток — кавалер многих орденов и медалей СССР и России:
Лауреат Ленинской премии (1957, за участие в создании первых искусственных спутников Земли), Государственной премии СССР (1976, за участие в осуществлении проекта «Союз-Аполлон»), Международной премии Андрея Первозванного «За веру и верность» (2010).
Борис Черток — автор и соавтор более 200 научных трудов, в том числе ряда монографий, большинство из которых многие годы были засекречены.
Некоторые из открытых работ:
В 1994—1999 годах Борис Черток при содействии супруги Екатерины Голубкиной подготовил уникальную историческую серию «Ракеты и люди» из четырёх монографий.
Отдел истории НАСА опубликовал в 2005-2011 годах четыре переведённых тома серии «Ракеты и люди». Издание вышло под редакцией историка космонавтики Асифа Сиддики, автора книги «Вызов Аполлону: Советский Союз и космическая гонка, 1945-1974».