Борис Горшенин родился 13 апреля 1909 года. В 1928 году окончил Саратовский театральный техникум и был принят в труппу Саратовского драматического театра. В 1930—1934 гг работал в театрах Ашхабада и Ярославля, с 1935 года работал в Архангельском театре драмы. Его жена В. П. Соловьёва и дочь Наталья Горшенина так же были актрисами Архангельского театра драмы имени М. В. Ломоносова. Внучка Бориса Ивановича Татьяна Горшенина в данный момент служит актрисой Архангельского театра кукол .
Скончался 22 ноября 1974 г.Похоронен в Архангельске на Кузнечевском кладбище.