Борис Темирканов получил начальное музыкальное образование в музыкальной школе Нальчика, куда они с младшим братом Юрием были приняты в августе 1946 года. Там он занимался на виолончели в классе Николая Яковлевича Лобач-Жученко. Первое его публичное выступление состоялось 1 сентября 1951 года в республиканском драматическом театре в составе трио, в котором партию скрипки исполнял Юрий Темирканов. После окончания музыкальной школы Борис в отличие от уехавшего в Ленинград брата продолжил обучение в Нальчике. Затем он закончил Саратовскую консерваторию.
Вернувшись в Нальчик после окончания консерватории, Борис Темирканов играл на виолончели в местном оркестре. В это же время он начал заниматься композицией и дирижированием. В середине 1970-х годов он в течение года проходил стажировку в Ленинграде. За это время он продирижировал несколькими спектаклями в театре оперы и балета им. М. П. Мусоргского. Вернувшись в Нальчик, Темирканов начал дирижировать местным симфоническим оркестром. Первое его выступление в качестве его дирижёра состоялось 13 апреля 1975 года. Позже он начал гастролировать, управляя оркестрами разных городов России.
На протяжении многих лет Борис Темирканов является главным дирижёром симфонического оркестра Кабардино-Балкарской государственной филармонии. Он является автором первых сочинений для кабардинской гармоники в сопровождении симфонического оркестра. До августа 1991 года Темирканов занимал пост министра культуры Кабардино-Балкарии.