Родился в семье бухгалтера. Вырос на улице Алексея Толстого, что одна из центральных в Самаре. Окончил шестую школу на улице Фрунзе. На протяжении многих лет воспитывался родными дедушкой и бабушкой. Высшее образование получил на историко-филологическом факультете пединститута Куйбышева (ныне Поволжская государственная социально-гуманитарная академия). Работал школьным учителем в 1961-1962 годах, затем редактором в детской редакции местного телевидения. После окончания Высших сценарных курсов при Союзе кинематографистов СССР в 1969 году перешёл в городскую студию кинохроники и проработал здесь тридцать лет. Снимал документальные фильмы о Самаре. В 1999 году начал вести свою пятиминутную радиопередачу «Неожиданный поворот», которая оборвалась из-за инсульта в марте 2001 года. Был женат, жил с дочерью и внучкой.
Умер в своём доме, где прожил последние годы жизни.
Учась в школе, занимался в литературном кружке куйбышевского Дворца пионеров. Работая в детской редакции Куйбышевского телевидения, написал три пьесы для детей, поставленных областной телестудией «Товарищ». Затем появились рассказы и повести для детей. Выпустил несколько сборников стихов. Писал тексты песен, ставших шлягерами благодаря музыке самарского композитора Марка Левянта. Известность Борису Свойскому принесла серия документальных фильмов о Самаре и работа над киножурналами на студии кинохроники, где он выступал в качестве сценариста, диктора, а позже и режиссёра. О самарском периоде жизни Максима Горького написал пьесу, поставленную в местном театре.
Пытался работать на телевидении, в течение года вёл спик-шоу на телеканале "СКаТ". Последние два года жизни вел на самарском радио собственную пятиминутку "Неожиданный поворот". За пять минут Борис Иосифович успевал в рассуждении на определенную тему сделать тот самый "поворот", отталкиваясь от расхожего утверждения. Каждый выпуск завершался небольшим стихотворением в качестве эпилога. Передача выходила в дневное время каждое воскресенье, постоянные слушатели уже ожидали заранее коронную фразу Бориса Свойского "Но мы с вами сделаем... неожиданный поворот". В 2001 году пятиминутка начинает выходить все реже и реже. Похороны популярного в Самаре сценариста, драматурга и литератора прошли в центре города. Всю сознательную жизнь признававшийся в любви к своей малой Родине - Самаре - и неохотно покидавший её, Борис Свойский со своим творчеством остался практически неизвестен за её пределами. Однако для родного города он был и остаётся знаковой культурной фигурой. В настоящее время принято решение об установке Борису Свойскому памятника в Струковском саду города Самары.