Борис Иванович Анисимов окончил Ленинградскую консерваторию в 1930 году по классу Петра Волкова (тромбон), Василия Калафати (композиция), Сергея Ельцина и Н. Хейфеца (дирижирование). С 1926 по 1937 год он играл на тромбоне в оркестре Ленинградского театра оперы и балета им. Кирова. С 1925 по 1941 год Борис Анисимов параллельно с работой в Кировском театре также дирижировал Ленинградским военным оркестром.
После более 10 лет работы в симфоническом оркестре Кировского театра, в 1938 году по предложению его главного дирижёра Ария Моисеевича Пазовского, Анисимов возглавил сценический оркестр этого театра. С этим коллективом связана большая часть творческого пути Бориса Анисимова. Он оставался на этом посту более 50 лет и ушёл на пенсию только в 1989 году в возрасте более 80 лет.
С 1944 года Анисимов преподавал с Ленинградской консерватории, в 1953 в звании доцента. С 1976 года он также являлся профессором Ленинградского института культуры имени Н. К. Крупской. Среди учеников Бориса Анисимова много известных музыкантов, в том числе тубист Валентин Галузин. Борис Анисимов — автор книг об ансамблевой игре на медных духовых инструментах и об инструментовке.
Композиторское наследие Бориса Анисимова включает в себя ряд произведений для духовых инструментов, ансамблей и духовых оркестров, ныне входящих в репертуар многих оркестров. Кроме оригинальных сочинений, Анисимов создал множество транскрипций и инструментовок для духового ансамбля. Эпизоды для сценического духового оркестра в сочинениях некоторых известных были выполнены именно Анисимовым. О работе с Анисимовым композитор Андрей Петров вспоминал:
.
Творческая деятельность Бориса Анисимова была активной и разнообразной. Благодаря своим широким познаниям в области духовой музыки и большому опыту, он занимал видное место среди академических музыкальных Ленинграда. Его преемник на посту дирижёра сценического оркестра Мариинского театра Георгий Страутман дал Борису Анисимову следующую характеристику:
.